Question

На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки M и H такие, что BM=DN . Докажите что AMCN - ромб . Найдите его периметр, если MN=4 см и угол BAM =15°​

Answer 1

Ответ:

16 см

Могут быть допущены граматичиские ошибки, я просто с Украины))

Answer 2

В квадрате ABCD, A - прямой угол(90°).

Углы BAM и NAD одинаковы(по 15°).

Тогда угол MAN = угол A - угол BAM - угол NAD = 60°.

BM = DN

Треугольники ABM с CBM и треугольники ADN с CDN имеют одинаковые углы(15°, 45°, 90°) и общие одинаковые стороны BM и ND соответственно.

Проведём диагональ AC. В квадрате диагонали при пересечении делятся пополам и образуют 4 угла по 90°.

Углы MAN и MCN равны и углы AMC с ANC равны.

Исходя из выше сказанного и того что ABCD - квадрат, можно утверждать что AMCN - ромб.

В ромбе AMCN, MN делит углы AMC и ANC пополам(по 60°).

Тогда треугольник AMN равносторонний (все стороны по 4 см).

P(AMCN) = 4 × a = 4 × 4 = 16(см).

Если увидели ошибку или хотите дополнить ответ, пишите в комментарии или в ЛС.

Answer 3

Для доказательства, что AMCN - ромб, нам нужно показать, что все его стороны равны между собой. Давайте рассмотрим эту ситуацию шаг за шагом.

Пусть A, B, C и D - вершины квадрата ABCD, причем BD - его диагональ. Мы знаем, что BM = DN. Давайте обозначим длину этой отрезка как x. Теперь у нас есть следующие равенства:

BM = x DN = x

Также известно, что угол BAM = 15 градусов. Теперь рассмотрим треугольник ABM. У нас есть следующие данные:

BM = x (из вышеуказанных равенств) AB = AD (по определению квадрата)

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы выразить длину AM через x и угол BAM. Мы знаем, что:

tan(угол) = противолежащая сторона / прилежащая сторона

В данном случае угол BAM = 15 градусов, и прилежащей стороной является AB, а противолежащей стороной - AM. Таким образом:

tan(15°) = AM / AB

Теперь давайте выразим AM:

AM = AB * tan(15°)

AB = AD (по определению квадрата), и так как AD - диагональ квадрата, то:

AB = BD / √2

Теперь мы можем выразить AM:

AM = (BD / √2) * tan(15°)

AM = x * tan(15°)

Теперь у нас есть AM и BM в терминах x и угла BAM. Сравнивая BM и AM, мы видим, что:

BM = x AM = x * tan(15°)

Теперь давайте рассмотрим треугольник CDN. У нас также есть:

DN = x (из вышеуказанных равенств) CD = AD (по определению квадрата)

Аналогично, используя тригонометрию, мы можем выразить NC через x и угол CDN:

tan(15°) = NC / CD

CD = AD = BD / √2 (как и выше)

Теперь выразим NC:

NC = (BD / √2) * tan(15°)

NC = x * tan(15°)

Таким образом, у нас есть:

DN = x NC = x * tan(15°)

Теперь давайте сравним стороны AM и NC:

AM = x * tan(15°) NC = x * tan(15°)

Таким образом, все стороны AMCN равны между собой, и это действительно ромб.

Теперь, чтобы найти периметр ромба, мы можем просто сложить длины всех его сторон. С учетом того, что MN = 4 см и все стороны ромба равны, периметр P будет равен:

P = 4 * AM + 4 * BM

P = 4 * (x * tan(15°)) + 4 * x

P = 4x(tan(15°) + 1)

Теперь мы можем вычислить значение P, используя значение угла и x:

P = 4x(tan(15°) + 1)

P = 4 * x * (0.2679 + 1)

P = 4 * x * 1.2679

Теперь, если у нас есть значение x (длина BM и DN), мы можем вычислить периметр P.