Question

Каждый раз на день рождения Васи его родители кладут в его копилку столько монет, сколько Васе исполняется лет. Сколько сейчас Васе лет, если в его копилке 21 монета?

Answer 1

Ответ:

Если сейчас в копилке 21 монета, то Васе 6 лет.

Пошаговое объяснение:

Если на каждый день рождения в копилку кладут столько монет, сколько Васе исполняется лет, то это - арифметическая прогрессия с разностью d=1 (т.к. на каждый день рождения, = каждый год), первым членом а₁ = 1 (т.к. каждый год с рождения).

За первые x лет жизни в копилке Васи 21 монета, значит Sₓ = 21.

Вспомним формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$\displaystyle \star \ S_n =\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Дано: a₁=1, d = 1, Sₓ = 21.

Найти: x.

Подставляем в вышеуказанную формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии имеющиеся значения:

$\displaystyle S_x =\frac{2a_1+d(x-1)}{2}\cdot x\\\\ \frac{2\cdot 1 + 1(x-1)}{2}\cdot x=21 \\\\ \frac{x(2+x-1)}{2} = 21 \ \Big| \cdot2 \\\\ 2x+x^2-x=42$

Приводим подобные слагаемые, меняем их порядок и переносим 42 влево:

x²+x-42=0

D = 1²-4*1*(-42) = 1 +168 = 169

$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{169} }{2\cdot 1} \\\\ x_1=\frac{-1+13}{2}=\frac{12}{2}=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2= \frac{-1-13}{2}=\frac{-14}{2}=-7$

Так как у Васи не может быть отрицательный возраст, единственный корень, удовлетворяющий условие задания это х = 6. Соответственно, Васе 6 лет.

#SPJ3

Answer 2

Чтобы узнать, сколько лет Васе, можно просто подсчитать количество монет в его копилке и вычислить, сколько лет он мог бы получить монет. В данном случае в копилке 21 монета.

Если каждый раз на день рождения Васи его родители кладут в его копилку столько монет, сколько ему исполняется лет, то суммируем первые n натуральных чисел, пока не достигнем или не превысим 21:

1 + 2 + 3 + ... + n ≥ 21

Давайте найдем наименьшее n, для которого это неравенство выполняется:

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

Подставим n(n + 1)/2 в неравенство:

n(n + 1)/2 ≥ 21

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

n(n + 1) ≥ 42

Теперь найдем наименьшее натуральное число n, которое удовлетворяет этому неравенству. В данном случае, это n = 6, так как:

6(6 + 1) = 6 * 7 = 42

Итак, Васе сейчас 6 лет.