Question

Помогите пж. Даю 100 баллов за решение! №1 Составить канонические уравнения прямой по точке M (11; -11; 13) и направляющему вектору p (14; 4; 11) №2 Составить уравнение плоскости по точкам M (11; -11; 13), N (13; -3; 14), K (22; -6; 9)

Answer 1

1) (x-11)/14=(y+11)/4=(z-13/11)

2) нужно посчитать определитель третьего  порядка и приравнять его к нулю.

х-11     у+11    z-13

13-11  -3+11    14-13    =0

22-11  -6+11    9-13

упростим

х-11     у+11    z-13

2       8            1               =0

11     5            -4

разложим по элементам первой строки.

(х-11)*(-32-5) - (у+11)(-8-11) + (z-13)(10-88)=0

раскроем скобки, приведем подобные. получим

-37х+37*11+19у +19*11-78z+13*78=0;

-37х+19у -78z+407+209+1014=0;

-37х+19у -78z+1630=0;

37х-19у +78z-1630=0;

Answer 2

Канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве можно записать следующим образом:

1. Для прямой с заданной точкой M(x₁, y₁, z₁) и направляющим вектором p(a, b, c):

Уравнение прямой: (x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c

2. Для плоскости, проходящей через три точки M(x₁, y₁, z₁), N(x₂, y₂, z₂) и K(x₃, y₃, z₃), можно использовать уравнение плоскости в общем виде:

Уравнение плоскости: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0

Для нахождения коэффициентов A, B и C, мы можем использовать векторное произведение векторов MN и MK.

Для начала, найдем векторы MN и MK:

Вектор MN = N - M = (13 - 11, -3 - (-11), 14 - 13) = (2, 8, 1) Вектор MK = K - M = (22 - 11, -6 - (-11), 9 - 13) = (11, 5, -4)

Теперь найдем векторное произведение векторов MN и MK:

N x MK = (8 * (-4) - 1 * 5, 1 * 11 - 2 * (-4), 2 * 5 - 8 * 11) = (-32 - 5, 11 + 8, 10 - 88) = (-37, 19, -78)

Теперь мы имеем нормальный вектор к плоскости (-37, 19, -78), который можно использовать для нахождения коэффициентов A, B и C. Нормируем этот вектор, чтобы получить единичный нормальный вектор:

Нормирующая константа = √((-37)² + 19² + (-78)²) = √(1369 + 361 + 6084) = √(7814) ≈ 88.39

Единичный нормальный вектор (A, B, C) = (-37/88.39, 19/88.39, -78/88.39) ≈ (-0.42, 0.21, -0.88)

Теперь мы можем записать уравнение плоскости с использованием координат точки M(x₁, y₁, z₁) и коэффициентов A, B и C:

Уравнение плоскости: -0.42(x - 11) + 0.21(y - (-11)) - 0.88(z - 13) = 0

Избавимся от десятичных дробей, умножив обе стороны на 100:

-42(x - 11) + 21(y + 11) - 88(z - 13) = 0

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точки M(11, -11, 13), N(13, -3, 14) и K(22, -6, 9).