Question

Помогите пожалуйста даю 40 баллов Найдите главную часть вида Q(x)=c(x+7)^m бесконечно большой функции R(x)=12⋅(e^x+7 −1)^4/(x+7)10+12/[arcsin (x+7)]^5 при x→−7.

Answer 1

Положим t=x+16->0. Известно, что 1-cos(t) ~ t^2/2. Значит, у второго слагаемого получится 16-я степень, то есть надо оставить первый член (второй бесконечно мал по сравнению с ним). Значит, c=7, m=13.

Answer 2

Для нахождения главной части функции $R(x)$ при $x \to -7$, воспользуемся асимптотическим анализом.

Для начала, рассмотрим первый член дроби:

$12\cdot(e^x+7-1)^4$

Когда $x$ стремится к $-7$, $e^x$ стремится к $e^{-7}$, и мы можем приблизить этот член следующим образом:

$12\cdot(e^x+7-1)^4 \approx 12\cdot(e^{-7} + 7 - 1)^4$

Теперь рассмотрим второй член дроби:

$(x+7)^{10}$

Когда $x$ стремится к $-7$, $(x+7)^{10}$ стремится к $0^{10}$, что равно 0.

Теперь рассмотрим третий член дроби:

$12/[arcsin (x+7)]^5$

Когда $x$ стремится к $-7$, $\arcsin (x+7)$ стремится к $\arcsin(0)$, что равно 0. Поэтому $[arcsin (x+7)]^5$ также равно 0.

Теперь мы можем выразить главную часть функции $R(x)$ при $x \to -7$ как:

$R(x) \approx 12\cdot(e^{-7} + 7 - 1)^4 / 0$

Здесь у нас есть деление на 0, что означает, что функция $R(x)$ имеет бесконечное значение при $x \to -7$. Таким образом, главная часть функции $R(x)$ при $x \to -7$ равна бесконечности.