Question

Знайдіть похідну функції: y= 4tgx * 6√x^5

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{24\sqrt{x^{5}}}{\cos^{2}x}+60tgx\sqrt{x^{3}}$

Пошаговое объяснение:

$y=4tgx \cdot 6\sqrt{x^{5}}=24tgx \cdot x^{\tfrac{5}{2}};$

$y'=(24tgx \cdot x^{\tfrac{5}{2}})=24 \cdot (tgx \cdot x^{\tfrac{5}{2}})'=24 \cdot ((tgx)' \cdot x^{\tfrac{5}{2}}+tgx \cdot (x^{\tfrac{5}{2}})')=$

$=24 \cdot \bigg (\dfrac{1}{\cos^{2}x} \cdot \sqrt{x^{5}}+tgx \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\tfrac{5}{2}-1} \bigg )=24 \cdot \bigg (\dfrac{\sqrt{x^{5}}}{\cos^{2}x}+\dfrac{5}{2}tgx \cdot x^{\tfrac{3}{2}} \bigg )=$

$=\dfrac{24\sqrt{x^{5}}}{\cos^{2}x}+60tgx\sqrt{x^{3}} \ ;$

Answer 2

Для знаходження похідної функції $y = 4 \cdot \tan(x) \cdot 6\sqrt{x^5}$, використаємо правило добутку та правило похідної від добутку.

Правило добутку (Product Rule) для двох функцій $u(x)$ та $v(x)$ виглядає так:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$,

де $u'$ - похідна першої функції за $x$, а $v'$ - похідна другої функції за $x$.

Розглянемо $u(x) = 4 \cdot \tan(x)$ і $v(x) = 6\sqrt{x^5}$.

Знайдемо похідні кожної з цих функцій:

1. $u(x) = 4 \cdot \tan(x)$

   $u'(x)$ - похідна $\tan(x)$ за $x$.

   Відомо, що $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$.

   Таким чином, $u'(x) = 4 \cdot \sec^2(x)$.

2. $v(x) = 6\sqrt{x^5}$

   $v'(x)$ - похідна $\sqrt{x^5}$ за $x$.

   Використаємо правило ланцюгового правила (Chain Rule):

   $\frac{d}{dx}(\sqrt{x^5}) = \frac{d}{dx}(x^{5/2})$.

   Застосуємо степінь до похідної:

   $\frac{d}{dx}(x^{5/2}) = \frac{5}{2}x^{(5/2) - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}$.

   Таким чином, $v'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Тепер ми можемо застосувати правило добутку:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' = (4 \cdot \sec^2(x)) \cdot (6\sqrt{x^5}) + (4 \cdot \tan(x)) \cdot (\frac{5}{2}x^{3/2})$.

Це є похідною вашої функції $y$ за $x$.