Question

Помогите пожалуйста решить уравнение. 1)а) cos(2x) + sin(2x) = √2 cos(x) − 1 б) Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [0;3pi/2]2) а) sin(pi/2-2x) - 2 cos(x) cos(2x) = -cos(2x)б) Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [-pi;2pi]

Answer 1

Ответ:

1. а) cos'x- sin²x = 2cosx - 1

cos²x - (1 - cos²x) — 2cosx + 1 = 0

2cos²x 2cosx 0 - =

2cosæ(cosx − 1)=0

COST = 0

π 2 x= + πn, n€ Z;

cosx – 1 = 0

cosx = 1

x = 2πn, ne Z.

Answer 2

Давайте начнем с первого уравнения:

1. а) cos(2x) + sin(2x) = √2 cos(x) − 1

Перепишем уравнение в более удобной форме, чтобы решать его:

cos(2x) + sin(2x) = √2 cos(x) − 1

Перепишем sin(2x) через удвоенный угол и преобразуем выражение:

cos(2x) + 2sin(x)cos(x) = √2 cos(x) − 1

Теперь выразим cos(2x) через косинусы:

2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = √2 cos(x) − 1

Теперь сгруппируем члены и приведем их в виде одного уравнения:

2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - √2cos(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте обозначим cos(x) как t и решим квадратное уравнение:

2t^2 + 2tsqrt(2) - √2t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни:

D = (2sqrt(2))^2 - 4 * 2 * (1) = 8 - 8 = 0

Дискриминант равен нулю, что означает, что у нас есть один корень кратности два. Решим уравнение:

t = (-2sqrt(2) ± sqrt(D)) / (2 * 2) = (-2sqrt(2) ± 0) / 4 = -sqrt(2)/2

Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям t:

1. cos(x) = -sqrt(2)/2

Для первого уравнения это происходит, когда x = 3pi/4 + 2kpi, где k - целое число.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

1. б) sin(pi/2-2x) - 2 cos(x) cos(2x) = -cos(2x)

Давайте перепишем sin(pi/2-2x) через синус разности и затем преобразуем уравнение:

sin(pi/2-2x) - 2 cos(x) cos(2x) = -cos(2x)

cos(2x) - 2 cos(x) cos(2x) = -cos(2x)

Теперь сгруппируем члены:

cos(2x)(1 - 2 cos(x)) = -cos(2x)

Теперь у нас есть уравнение, в котором есть cos(2x). Если cos(2x) ≠ 0, то мы можем сократить его:

1 - 2 cos(x) = -1

2 cos(x) = 2

cos(x) = 1

Это происходит, когда x = 0 + 2kpi, где k - целое число.

Теперь рассмотрим случай, когда cos(2x) = 0:

cos(2x) = 0

2x = pi/2 + 2kpi, где k - целое число

x = pi/4 + kpi

Теперь у нас есть два набора корней:

1. x = 3pi/4 + 2kpi
2. x = 0 + 2kpi
3. x = pi/4 + kpi

Теперь осталось проверить, какие из этих корней принадлежат указанным интервалам:

1. Для первого уравнения [0;3pi/2]:

   • 3pi/4 принадлежит интервалу [0;3pi/2].
   • 3pi/4 + 2pi = 11pi/4 не принадлежит интервалу.

2. Для второго уравнения [-pi;2pi]:

   • 0 принадлежит интервалу [-pi;2pi].
   • pi/4 + pi = 5pi/4 принадлежит интервалу [-pi;2pi].

Таким образом, корни на указанных интервалах:

1. а) x = 3pi/4
2. б) x = 0, x = pi/4, x = 5pi/4