Question

Помогите пожалуйста решить уравнение. 1)а) cos(2x) + sin(2x) = √2 cos(x) − 1 б) Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [0;3pi/2]2) а) sin(pi/2-2x) - 2 cos(x) cos(2x) = -cos(2x)б) Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [-pi;2pi]

Answer 1

Ответ:

1. а) cos'x- sin²x = 2cosx - 1

cos²x - (1 - cos²x) — 2cosx + 1 = 0

2cos²x 2cosx 0 - =

2cosæ(cosx − 1)=0

COST = 0

π 2 x= + πn, n€ Z;

cosx – 1 = 0

cosx = 1

x = 2πn, ne Z.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. а) cos(2x) + sin(2x) = √2 cos(x) - 1

Для начала, преобразуем левую часть уравнения, используя тригонометрические тождества:

cos(2x) + sin(2x) = √2 * (cos(45°) * cos(2x) + sin(45°) * sin(2x))

Теперь мы можем использовать тождество для cos(α + β):

√2 * (cos(45°) * cos(2x) + sin(45°) * sin(2x)) = √2 * cos(2x - 45°)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

√2 * cos(2x - 45°) = √2 * cos(x) - 1

Теперь можно сократить √2 с обеих сторон:

cos(2x - 45°) = cos(x) - 1/√2

Теперь мы можем использовать формулу для cos(α - β):

cos(2x - 45°) = cos(2x)cos(45°) + sin(2x)sin(45°)

cos(2x - 45°) = (1/√2)cos(2x) + (1/√2)sin(2x)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

(1/√2)cos(2x) + (1/√2)sin(2x) = cos(x) - 1/√2

Теперь приравняем действительные и мнимые части:

(1/√2)cos(2x) = cos(x) - 1/√2 (1)

(1/√2)sin(2x) = 0 (2)

Давайте рассмотрим уравнение (2). Умножение обеих сторон на √2 даст нам:

sin(2x) = 0

Это уравнение имеет корни, когда sin(2x) = 0, что происходит, когда 2x равно кратным значениям π. То есть:

2x = 0, π, 2π, 3π, ...

Теперь рассмотрим уравнение (1):

(1/√2)cos(2x) = cos(x) - 1/√2

Умножим обе стороны на √2:

cos(2x) = √2 * (cos(x) - 1/√2)

cos(2x) = √2 * cos(x) - 1

Теперь мы можем использовать тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

2cos^2(x) - 1 = √2 * cos(x) - 1

Теперь выразим cos(x) и решим это квадратное уравнение:

2cos^2(x) - √2cos(x) = 0

cos(x)(2cos(x) - √2) = 0

Имеем два уравнения:

1. cos(x) = 0
2. 2cos(x) - √2 = 0

Для уравнения (1) корни находятся, когда cos(x) = 0, что происходит, когда x = π/2, 3π/2, ...

Для уравнения (2):

2cos(x) - √2 = 0

cos(x) = √2/2

Это уравнение имеет корни при x = π/4, 7π/4, ...

Теперь давайте проверим, какие из этих корней находятся на интервале [0; 3π/2] и [-π; 2π].

На интервале [0; 3π/2] корни следующие:

x = π/2, π, 3π/2

На интервале [-π; 2π] корни следующие:

x = π/4, 7π/4

Итак, корни уравнения (1) на интервале [-π; 2π]:

x = π/4, 7π/4

Корни уравнения (2) на интервале [0; 3π/2]:

x = π/2, π, 3π/2