Question

Вычислить неопределенный интеграл ∫ x^2(1+3x)dx ∫ 22dx/cos^2x

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int {x^{2} (1 + 3x)} \, dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{4}}{4} + C} }$

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int {\frac{22 \cdot dx}{\cos^{2} x} } = 22 \ \rm{ tg} \ x + C}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1};n \neq -1;x > 0 }$

$\boxed{\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^{2} x} = \rm tg \ x + C }$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int {x^{2} (1 + 3x)} \, dx = \int {(x^{2} + 3x^{3})} \, dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{4}}{4} + C$

$\displaystyle \int {\frac{22 \cdot dx}{\cos^{2} x} } = 22 \int {\frac{ dx}{\cos^{2} x} } = 22 \ \rm{ tg} \ x + C$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления неопределенного интеграла:

1. ∫ x^2(1+3x)dx

Сначала раскроем скобки и упростим выражение:

∫ (x^2 + 3x^3) dx

Теперь мы можем взять интеграл каждого слагаемого по отдельности:

∫ x^2 dx + ∫ 3x^3 dx

Интеграл первого слагаемого:

∫ x^2 dx = (1/3) * x^3 + C₁, где C₁ - произвольная константа.

Интеграл второго слагаемого:

∫ 3x^3 dx = (3/4) * x^4 + C₂, где C₂ - еще одна произвольная константа.

Теперь сложим эти два интеграла:

(1/3) * x^3 + (3/4) * x^4 + C, где C = C₁ + C₂ - итоговая произвольная константа.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ x^2(1+3x)dx равен:

(1/3) * x^3 + (3/4) * x^4 + C.

Теперь перейдем ко второму интегралу:

2. ∫ 22dx/cos^2(x)

Заметьте, что 22 - это константа, и ее можно вынести за знак интеграла:

22 * ∫ dx/cos^2(x)

Теперь воспользуемся тождеством тригонометрии: sec^2(x) = 1/cos^2(x). Таким образом, мы можем переписать интеграл следующим образом:

22 * ∫ dx * sec^2(x)

Интеграл ∫ sec^2(x) dx равен tan(x) + C, где C - произвольная константа.

Теперь вернемся к нашему интегралу:

22 * (tan(x) + C)

Итак, неопределенный интеграл ∫ 22dx/cos^2(x) равен:

22 * tan(x) + 22C, где 22C - новая произвольная константа.

Таким образом, ответы на ваши интегралы:

1. ∫ x^2(1+3x)dx = (1/3) * x^3 + (3/4) * x^4 + C, где C - произвольная константа.

2. ∫ 22dx/cos^2(x) = 22 * tan(x) + 22C, где 22C - новая произвольная константа.