Question

Точки А(-2;-4;1) і В(-5;-6-1)- вершини паралелограма ABCD , точка О(1;3;2)точка перетину його діагоналей. Знайдіть координати вершини С і D паралелограма ABCD​

Answer 1

Ответ:

Точка С симметрична точке А относительно точеи О, поэтому ее координаты ищутся так:

(-2+х)/2=1 следует х=4,

(-4+у)/2=2 следует у=8,

(1+z)/2=3 следует z=5.

Аналогично для точки D:

(-5+х)/2=1 следует х=7,

(-6+у)/2=2 следует у=10,

(-1+z)/2=3 следует z=7.

Ответ: C(4;8;5), D(7;10;7)

Answer 2

Для знаходження координат вершини С і D паралелограма ABCD, нам спершу потрібно знайти вектори, які відповідають діагоналям паралелограма. Одна з діагоналей може бути представлена вектором, що з'єднує точки A і C, а інша - вектором, що з'єднує точки B і D.

1. Знаходимо вектори AC і BD: Вектор AC = Вектор C - Вектор A AC = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) AC = (-2 - x_C, -4 - y_C, 1 - z_C)

   Вектор BD = Вектор D - Вектор B BD = (x_D - x_B, y_D - y_B, z_D - z_B) BD = (x_D - (-5), y_D - (-6), -1 - (-1)) BD = (x_D + 5, y_D + 6, -1 + 1)

2. Відомо, що діагоналі паралелограма перетинаються в точці O. Тобто, вектори AC і BD мають спільну точку O.

3. Використовуючи точку O і відомі вектори AC і BD, ми можемо створити рівняння: Вектор OA + Вектор AC = Вектор OB + Вектор BD

   (x_O, y_O, z_O) + AC = (x_O, y_O, z_O) + BD

   Тепер підставимо координати точок та вектори: (1, 3, 2) + (-2 - x_C, -4 - y_C, 1 - z_C) = (1, 3, 2) + (x_D + 5, y_D + 6, 0)

4. Розкриваємо дужки і розв'язуємо рівняння для x, y і z: 1 - 2 - x_C = 1 + x_D + 5 3 - 4 - y_C = 3 + y_D + 6 2 - 1 - z_C = 0

   -1 - x_C = 6 + x_D -1 - y_C = 9 + y_D 1 - z_C = 0

5. Перепишемо рівняння для x і y так, щоб вони були виразами змінних x_D і y_D: x_D = -1 - x_C - 6 y_D = -1 - y_C - 9

6. Тепер можемо підставити ці вирази у рівняння для z_C і вирішити його: 1 - z_C = 0 z_C = 1

7. Тепер, маючи значення z_C, можемо знайти значення x_D і y_D: x_D = -1 - x_C - 6 x_D = -7 - x_C y_D = -1 - y_C - 9 y_D = -10 - y_C

Отже, координати вершини C паралелограма ABCD - (x_C, y_C, z_C) = (-7 - x_C, -10 - y_C, 1), а координати вершини D - (x_D, y_D, z_D) = (x_D, y_D, 1) = (-7 - x_C, -10 - y_C, 1).