Question

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТІ У магазині е 10, 30 і 60 однотипних виробів, виготовлених відповідно на 1-му, 2-му і 3- му заводах. Ймовірність високоякісних вирбів серед них становить відповідно 0.8, 0,6 і 0.4. Яка ймовірність того, що навмання куплений виріб виявиться високоякісним? Яка ймовірність того, що цей виріб виготовлений на 3-му заводі?​

Answer 1

Ідповідь:

Покрокове пояснення:
нехай подія Н1, Н2, Н3 - виріб виготовлено на 1,2,3 заводах відповідно. Так як нічого не сказано, то ці події рівновеликі : Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3
Нехай подія А - виріб є високоякісним
Тоді
Р(А/Н1)=0.8
Р(А/Н2)=0.6
Р(А/Н3)=0.4

Р(А)=Р(А/Н1)Р(Н1)+Р(А/Н2)Р(Н2)+Р(А/Н3)Р(Н3)=1/3(0.8+0.6+0.4)=0.6
Р(Н3/А)=Р(А/Н3)Р(Н3)/Р(А)=1/3×0.4 / 0.6≈0.222

Answer 2

Для розв'язання цих задач використаємо формулу умовної ймовірності.

Позначимо події так:

A - куплений виріб виявився високоякісним. B1 - виріб виготовлений на 1-му заводі. B2 - виріб виготовлений на 2-му заводі. B3 - виріб виготовлений на 3-му заводі.

За умовою, ймовірність високоякісного виробу на кожному заводі вже дана:

P(A|B1) = 0.8 P(A|B2) = 0.6 P(A|B3) = 0.4

Також нам дано, скільки виробів є на кожному заводі:

n(B1) = 10 n(B2) = 30 n(B3) = 60

Тепер ми можемо використовувати формулу умовної ймовірності:

P(B1|A) - ймовірність того, що виріб виготовлений на 1-му заводі, за умови, що він виявився високоякісним.

P(B2|A) - ймовірність того, що виріб виготовлений на 2-му заводі, за умови, що він виявився високоякісним.

P(B3|A) - ймовірність того, що виріб виготовлений на 3-му заводі, за умови, що він виявився високоякісним.

Використовуючи формулу умовної ймовірності, отримуємо:

P(B1|A) = P(A|B1) * P(B1) / P(A) P(B2|A) = P(A|B2) * P(B2) / P(A) P(B3|A) = P(A|B3) * P(B3) / P(A)

Знайдемо P(A) за допомогою правила повної ймовірності:

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + P(A|B3) * P(B3)

P(B1) = n(B1) / (n(B1) + n(B2) + n(B3)) = 10 / (10 + 30 + 60) = 10 / 100 = 1/10 P(B2) = n(B2) / (n(B1) + n(B2) + n(B3)) = 30 / (10 + 30 + 60) = 30 / 100 = 3/10 P(B3) = n(B3) / (n(B1) + n(B2) + n(B3)) = 60 / (10 + 30 + 60) = 60 / 100 = 6/10

Тепер підставимо значення в формули:

P(B1|A) = 0.8 * (1/10) / P(A) P(B2|A) = 0.6 * (3/10) / P(A) P(B3|A) = 0.4 * (6/10) / P(A)

Тепер знайдемо P(A):

P(A) = 0.8 * (1/10) + 0.6 * (3/10) + 0.4 * (6/10) = 0.08 + 0.18 + 0.24 = 0.5

Тепер ми можемо знайти P(B1|A), P(B2|A) і P(B3|A):

P(B1|A) = (0.8 * (1/10)) / 0.5 = 0.08 / 0.5 = 0.16 P(B2|A) = (0.6 * (3/10)) / 0.5 = 0.18 / 0.5 = 0.36 P(B3|A) = (0.4 * (6/10)) / 0.5 = 0.24 / 0.5 = 0.48

Отже, ймовірність того, що навмання куплений виріб виявиться високоякісним, дорівнює 0.5, ймовірність того, що цей виріб виготовлений на 3-му заводі, дорівнює 0.48.