Question

ПОМОГИТЕ!! С РЕШЕНИЕМ При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 91% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 11% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Answer 1

Ответ:

пациент действительно имеет это заболевание с вероятностью 0,2

Пошаговое объяснение:

Пусть у нас х действительно больных пациентов;

                    у здоровых пациентов.

Всего обследуют (х+у) пациентов.

Болен/не болен, а положительных тестов будет  0,11(х+у)

(потому, что известно, что в среднем тест оказывается положительным у 11% всех пациентов, направленных на тестирование).

Из этих 0,11(х+у)

• - на больных придется 0,99х (потому что если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 99% случаев)

• - на здоровых придется 0,09у (потому что, если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 91% случаев, присутствие заболевания будет  в 100% - 91% = 9% случаев).

Составим уравнение

0,11(х + у) = 0,99х + 0,09у

0,11х + 0,11у = 0,99х + 0,09у

0,11у - 0,09у = 0,99х - 0,11х

0,02у = 0,88х

у = 44х

Теперь можем посчитать вероятность, что тест не врет.

Т.е. при положительном тесте заболевание-таки имеется.

по классическому определению вероятности

n = 0.11(x+y)  - всего положительных тестов

m = 0.99x     - реальное количество больных

$\displaystyle P=\frac{m}{n}= \frac{0.99x}{0.11(x+44x)} =\frac{0.99}{0.11*45} =\frac{0.99}{4.95} =0.2$

Вероятность того, что некоторый пациент действительно болен равна 0,2 (или 20%)

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать формулу условной вероятности, известную как теорема Байеса.

Пусть:

• A - событие "пациент действительно имеет заболевание".
• B - событие "тест положительный".

Мы хотим найти вероятность P(A|B) - то есть вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание, при условии, что тест положительный.

Мы знаем следующие вероятности:

• P(A) - вероятность того, что пациент имеет заболевание. Мы не знаем эту вероятность, но можем предположить, что она мала, например, 1% (0.01), так как обычно заболеваний редко бывает.
• P(B|A) - вероятность того, что тест положительный при наличии заболевания, равна 0.99.
• P(B|¬A) - вероятность того, что тест положительный при отсутствии заболевания, равна 1 - 0.91 = 0.09.

Теперь мы можем использовать теорему Байеса: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / [P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)]

P(¬A) - вероятность того, что пациент не имеет заболевания, равна 1 - P(A) = 1 - 0.01 = 0.99.

Подставляем значения: P(A|B) = (0.99 * 0.01) / (0.99 * 0.01 + 0.09 * 0.99) = 0.0099 / (0.0099 + 0.0891) ≈ 0.099 / 0.099 ≈ 0.909

Таким образом, вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание, при условии, что тест положительный, составляет около 91%.