Question

В правильной треугольной призме радиус окружности, вписанной в основание, равен 2√3 см. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 450 . Найти площадь боковой поверхности призмы.

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности призмы  равна 432 см².

Пошаговое объяснение:

В правильной треугольной призме радиус окружности вписанной в основание, равен  2√3 см. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная призма $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ . Тогда Δ АВС - правильный и по условию известен радиус вписанной окружности.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник определяется по формуле

$r=\dfrac{a}{2\sqrt{2} } ,$

где а - сторона треугольника.

Тогда

$a=2r\sqrt{3}$

Найдем сторону треугольника АВС

$AB=AC=BC=2\cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =4\cdot3=12$ cм.

Рассмотрим Δ$A_{1} AB$ - прямоугольный, если ∠$A_{1} BA=45^{0}$, то

∠$AA_{1} B=45^{0}$ ( так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Тогда Δ$A_{1} AB$ - равнобедренный ( два угла равны) и $A_{1} A=AB =12$ см. Значит, высота призмы равна 12 см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Периметр правильного треугольника вычисляется по формуле

$P=3a,$ где а - сторона треугольника

$P=3\cdot12 =36$ cм.

Площадь боковой поверхности правильной призмы будет равна

$S= 36\cdot 12=432$ см².

#SPJ1

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

У нас есть правильная треугольная призма, что означает, что боковая грань призмы - это равносторонний треугольник. По условию, радиус окружности, вписанной в основание этой призмы, равен 2√3 см. Это равно расстоянию от центра основания призмы до одной из его вершин.

Также известно, что диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 45°. Это означает, что этот треугольник разделен на два равных прямоугольных треугольника.

Мы можем разделить боковую грань призмы на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет одну из катетов равной длины 2√3 см (радиус окружности), а другой катет будет половиной высоты треугольной призмы. Так как диагональ образует угол 45°, то каждый прямоугольный треугольник будет иметь гипотенузу, равную 2√3 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольной призмы (катет):

(Высота)^2 + (Половина основания)^2 = (Гипотенуза)^2 (Высота)^2 + (2√3/2)^2 = (2√3)^2 (Высота)^2 + 3 = 12 (Высота)^2 = 12 - 3 (Высота)^2 = 9 Высота = √9 Высота = 3 см

Теперь у нас есть высота треугольной призмы. Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, мы можем вычислить площадь одной боковой грани (прямоугольного треугольника) и умножить ее на количество таких граней.

Площадь одной боковой грани (прямоугольного треугольника): Площадь = (1/2) * (катет) * (гипотенуза) Площадь = (1/2) * 2√3 * 2√3 Площадь = (1/2) * 12 Площадь = 6 квадратных см

Так как у призмы 3 боковые грани (равносторонний треугольник имеет 3 стороны), то общая площадь боковой поверхности призмы равна: Общая площадь = 3 * 6 квадратных см Общая площадь = 18 квадратных см

Ответ: Площадь боковой поверхности данной призмы равна 18 квадратным см.