Question

В арифметичній прогресії відомо, що а2= 1, а4 = 9. Обчисліть суму двадцяти перших членів цієї прогресії. НМТ 2022

Answer 1

Ответ:

S₂₀ = 700

Пошаговое объяснение:

Дано: арифметическая прогрессия. а₂=1, а₄=9

Найти: S₂₀

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

аₙ = а₁ + d(n-1)

По условию а₂=1, а₄=9, ⇒

а₂ = а₁ + d * (2-1), а₄ = а₁ + d * (4-1).

Решим систему уравнений, найдём первый член прогрессии а₁ и разность прогрессии d:

$\left \{ \begin{array}{ccc} a_1+d=1 \\\\ a_1+3d=9 \end{array}\right$

Из второго уравнения вычтем первое:

$\left \{ \begin{array}{ccc} a_1+d=1 \\\\ 2d=8 \end{array}\right$

$\left \{ \begin{array}{ccc} a_1+4=1 \\\\ d=4 \end{array}\right$

$\left \{ \begin{array}{ccc} a_1=-3 \\\\ d=4 \end{array}\right$

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)*d}{2} *n$

$S_{20}=\dfrac{2*(-3)+(20-1)*4}{2} *20=(-6+19*4)*10=700$

Ответ: S₂₀ = 700

Answer 2

Для обчислення суми двадцяти перших членів арифметичної прогресії нам потрібно знайти загальний член прогресії (a_n) та використати формулу для суми перших n членів арифметичної прогресії.

Ми вже знаємо, що a_2 = 1 і a_4 = 9. За формулою загального члена арифметичної прогресії, ми можемо записати:

a_n = a_2 + (n - 2) * d

де "d" - різниця між будь-якими двома послідовними членами прогресії. Ми можемо знайти "d", віднявши a_2 від a_4:

d = a_4 - a_2 = 9 - 1 = 8

Тепер ми можемо знайти загальний член a_n:

a_n = 1 + (n - 2) * 8 = 1 + 8n - 16 = 8n - 15

Тепер, коли у нас є формула для a_n, ми можемо знайти суму перших 20 членів прогресії. Формула для суми перших n членів арифметичної прогресії виглядає так:

S_n = (n/2) * [2a_1 + (n - 1)d]

У нашому випадку a_1 = a_2 = 1 і d = 8. Підставимо ці значення в формулу:

S_20 = (20/2) * [2 * 1 + (20 - 1) * 8] S_20 = 10 * [2 + 19 * 8] S_20 = 10 * [2 + 152] S_20 = 10 * 154 S_20 = 1540

Отже, сума перших 20 членів цієї арифметичної прогресії дорівнює 1540.