Question

Найти сумму всех трёхзначных чисел делящихся на 7, с помощью арифметической прогрессии

Answer 1

Ответ:

Найдем первое трехзначное число, делящееся на 7.

100, 101, 102, 103, 104 не делятся. 105 делится на 7. Следующее число будет 105+7, потом 105+7+7 и т.д., то есть разность арифметической прогрессии будет 7.

Теперь надо найти последнее трехзначное число, делящееся на 7.

999, 998, 997, 996, 995 не делятся. 994 делится.

По формуле $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$, определим сколько всего трехзначных чисел, делящихся на 7.

$105 + (n - 1) \times 7 = 994 \\ 105 + 7n - 7 = 994 \\ 7n = 994 - 98 \\ 7n = 896 \\ n = \frac{896}{7} \\ n = 128$

Всего 128 чисел.

Теперь найдем сумму по формуле $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \times n$

$S_{128} = \frac{105 + 994}{2} \times 128 = 1099 \times 64 = 70336$

Ответ: 70336

Answer 2

Для нахождения суммы всех трехзначных чисел, которые делятся на 7, можно воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии. Сначала найдем, какие трехзначные числа делятся на 7.

Наименьшее трехзначное число, которое делится на 7, это 105 (7 * 15), а наибольшее трехзначное число, которое делится на 7, это 994 (7 * 142).

Теперь, чтобы найти количество таких чисел, мы можем использовать формулу для нахождения количества членов в последовательности арифметической прогрессии:

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

где:

• $n$ - количество членов последовательности,
• $a_n$ - последний член последовательности,
• $a_1$ - первый член последовательности,
• $d$ - разность между соседними членами последовательности.

В данном случае:

• $a_n = 994$,
• $a_1 = 105$,
• $d = 7$.

Подставим значения в формулу:

$n = \frac{994 - 105}{7} + 1 = \frac{889}{7} + 1 = 127 + 1 = 128$

Теперь мы знаем, что есть 128 трехзначных чисел, которые делятся на 7.

Далее, чтобы найти сумму всех этих чисел, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

где:

• $S_n$ - сумма первых $n$ членов последовательности,
• $n$ - количество членов последовательности,
• $a_1$ - первый член последовательности,
• $a_n$ - последний член последовательности.

Подставим значения:

$S_n = \frac{128}{2} \cdot (105 + 994) = 64 \cdot 1099 = 70336$

Итак, сумма всех трехзначных чисел, которые делятся на 7, равна 70336.