Question

Чему равна сумма целых решений неравенства sinx(cos2x-1)>0 на промежутке [-пи; пи]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Так как $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha ,$ неравенство можно переписать так:

$\sin x(1 - 2{\sin ^2}x - 1) > 0;$

$2{\sin ^3}x > 0;$

$\sin x > 0.$

$x \in (2\pi n;\,\,\pi + 2\pi n), n \in {\rm{Z}}.$

Учитывая заданный промежуток $[ - \pi ;\,\,\pi ],$ следует найти сумму целых решений неравенства на промежутке $(0;\,\,\pi ).$

Так как $\pi \approx 3,14,$ целыми числами, попадающими в такой промежуток, являются 1, 2 и 3. Их сумма равна 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство sin(x)(cos(2x) - 1) > 0 на интервале [-π, π].

Сначала найдем решения уравнения sin(x)(cos(2x) - 1) = 0. Это произойдет, когда либо sin(x) = 0, либо cos(2x) = 1.

1. sin(x) = 0 имеет решения x = 0, ±π, ±2π и так далее.

2. cos(2x) = 1 имеет решение только x = 0.

Теперь определим знак выражения sin(x)(cos(2x) - 1) на интервалах между найденными решениями уравнения.

1. Интервал между -π и 0:

   • В этом интервале sin(x) < 0 (потому что sin(x) отрицательный для x во втором и третьем квадрантах), а cos(2x) - 1 < 0 (потому что cos(2x) - 1 отрицателен для всех x), поэтому sin(x)(cos(2x) - 1) > 0 в этом интервале.

2. Интервал между 0 и π:

   • В этом интервале sin(x) > 0 (потому что sin(x) положительный для x в первом и четвертом квадрантах), и cos(2x) - 1 < 0 (потому что cos(2x) - 1 отрицателен для всех x), поэтому sin(x)(cos(2x) - 1) > 0 в этом интервале.

Таким образом, неравенство sin(x)(cos(2x) - 1) > 0 выполняется на интервале [-π, π] между -π и π.

Сумма целых решений на этом интервале равна сумме всех целых чисел от -π до π включительно, что можно выразить как:

-π + (-π + 1) + (-π + 2) + ... + (π - 1) + π = 0.

Следовательно, сумма целых решений данного неравенства на интервале [-π, π] равна 0.