Question

Катя задумала натуральное число и выписала на доске все его натуральные делители (включая единицу и само число) в порядке возрастания. 3.1. Разность между какими-то двумя числами на доске оказалась равной 1. Чему равно второе число на доске? 3.2. Третье число на доске на 5 меньше пятого числа. Чему равно четвёртое число на доске? 3.3. Ни одно из выписанных Катей чисел, кроме единицы, не заканчивается на 1. Чему равно шестое число? 3.4. Ни одно из выписанных чисел не заканчивается на 9. Докажите, что количество чисел на доске, кончающихся нулём, не может быть нечётным.

Answer 1

Я нез обал оучдыр, о у-дулы ущдсшущкршаал

Answer 2

Давайте рассмотрим условия по порядку и найдем ответы на каждый вопрос.

3.1. Разность между какими-то двумя числами на доске оказалась равной 1. Чему равно второе число на доске?

Если разность между двумя числами равна 1, это означает, что эти два числа - соседние простые числа. Простые числа - это натуральные числа, большие 1, которые имеют только два делителя: 1 и само себя.

Пусть первое число на доске будет $n$, тогда второе число будет $n + 1$, которое является следующим простым числом. Таким образом, второе число - это следующее простое число после $n$.

3.2. Третье число на доске на 5 меньше пятого числа. Чему равно четвёртое число на доске?

Если третье число на 5 меньше пятого, то четвертое число на 5 больше третьего числа. Пусть третье число на доске будет $n$, тогда четвертое число будет $n + 5$.

3.3. Ни одно из выписанных Катей чисел, кроме единицы, не заканчивается на 1. Чему равно шестое число?

Если ни одно из выписанных чисел, кроме единицы, не заканчивается на 1, значит, они заканчиваются на 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Шестое число, скорее всего, будет оканчиваться на 0, так как оно четное и простые числа, как правило, не четные. Пусть шестое число на доске будет $m$, тогда оно оканчивается на 0, и шестое число $m$ может быть записано как $m = 10k$, где $k$ - некоторое натуральное число.

3.4. Ни одно из выписанных чисел не заканчивается на 9. Докажите, что количество чисел на доске, заканчивающихся нулём, не может быть нечётным.

Если ни одно из выписанных чисел не заканчивается на 9, то они могут заканчиваться только на 0, 2, 4, 6 или 8. Эти числа являются четными, и количество четных чисел всегда четно. Следовательно, если количество чисел на доске, заканчивающихся нулем, нечетно, то количество всех чисел на доске (включая единицу) также должно быть нечетным, что противоречит условию.

Теперь найдем ответы на каждый вопрос:

3.1. Пусть первое число на доске $n$. Второе число будет $n + 1$.

3.2. Третье число на доске $n + 5$. Четвертое число будет $n + 10$.

3.3. Пусть шестое число на доске будет $m = 10k$, где $k$ - некоторое натуральное число.

3.4. Количество чисел, заканчивающихся нулем, не может быть нечётным.