Question

Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = sin(4x + 7) - 5/ x³

Answer 1

Ответ: F(x) =0.25cos(4х+7) x +2.5 /x² +C

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^ {} sin(4x+7) \, dx = \frac{1}{4} \int\limits^ {} sin(4x+7) \, d(4x+7) = -\frac{1}{4}cos (4x+7) +C$

$5/x^3= 5*x^-^3 = > \int\limits{5*x^-^3} \, dx= 5*(-\frac{1}{2})*x^-^2+c$

=> F(x) =0.25cos(4x+7) +2.5 /x² +C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = sin(4x + 7) - 5/x^3, мы будем интегрировать каждое слагаемое по отдельности. Общий вид первообразной будет суммой первообразных для каждого слагаемого.

1. Интегрируем sin(4x + 7): ∫sin(4x + 7) dx

Для интегрирования sin(ax + b), где a и b - константы, используется формула:

∫sin(ax + b) dx = -1/a * cos(ax + b) + C

В данном случае a = 4, b = 7, поэтому:

∫sin(4x + 7) dx = -1/4 * cos(4x + 7) + C1

2. Интегрируем -5/x^3: ∫(-5/x^3) dx

Для интегрирования -5/x^n, где n ≠ 1, используется формула:

∫(-5/x^n) dx = (5/(n-1)) * x^(-n+1) + C2

В данном случае n = 3, поэтому:

∫(-5/x^3) dx = (5/(3-1)) * x^(-3+1) + C2 ∫(-5/x^3) dx = (5/2) * x^(-2) + C2

Теперь объединим обе первообразные:

∫[sin(4x + 7) - 5/x^3] dx = (-1/4 * cos(4x + 7)) + (5/2 * x^(-2)) + C

Это общий вид первообразной для функции f(x) = sin(4x + 7) - 5/x^3.