Question

3. При каких значениях b множеством решений неравенства (x + b) ^ 2 * (x - 7)(x + 5) > 0 является числовых промежутков (- ∞; - 5)(7;+ ∞)

Answer 1

Для знаходження значень b, при яких нерівність (x + b)² * (x - 7)(x + 5) > 0 має розв'язок на числових проміжках (-∞; -5) та (7; +∞), ми можемо скористатися методом інтервалів.

Спочатку розглянемо перший добуток (x + b)². Цей добуток буде додатнім, коли квадратичний термін (x + b)² буде додатнім. Це станеться, якщо x + b > 0 або x < -b.

Другий добуток (x - 7) буде додатнім, коли x > 7.

Третій добуток (x + 5) буде додатнім, коли x > -5.

Отже, у нас є два умови: x < -b, x > 7 та x > -5.

Щоб задовольнити обидві умови, ми повинні взяти максимальне значення з нерівностей x > 7 та x > -5. Це означає, що нерівність буде мітити, якщо x > 7.

Таким чином, ми маємо, що b може мати будь-яке значення, оскільки нерівність (x + b)² * (x - 7)(x + 5) > 0 має розв'язок на числових проміжках (-∞; -5) та (7; +∞) незалежно від значення b.

Answer 2

Чтобы найти значения параметра $b$, при которых неравенство $(x + b)^2 \cdot (x - 7)(x + 5) > 0$ имеет множество решений $(- \infty; - 5) \cup (7; + \infty)$, нужно разобраться, какие корни имеют множители в данном неравенстве.

1. $(x + b)^2$ является квадратом, и его значение всегда неотрицательно для всех $x$.

2. $x - 7$ равно нулю при $x = 7$, что дает корень 7.

3. $x + 5$ равно нулю при $x = -5$, что дает корень -5.

Итак, корни у нас следующие: $x = -5, x = 7$.

Теперь определим знаки множителей на каждом из интервалов $(- \infty; - 5)$, $(- 5; 7)$ и $(7; + \infty)$:

1. Для интервала $(- \infty; - 5)$, все три множителя отрицательны, так как $(x + b)^2$ всегда положительно, $x - 7$ отрицательно при $x < 7$ и $x + 5$ отрицательно при $x < -5$.

2. Для интервала $(- 5; 7)$, множитель $(x + b)^2$ всегда положительный. $x - 7$ отрицательно при $-5 < x < 7$ и $x + 5$ положительно при $-5 < x < 7$.

3. Для интервала $(7; + \infty)$, все три множителя положительны.

Таким образом, неравенство имеет множество решений $(- \infty; - 5) \cup (7; + \infty)$ для всех значений $b$, кроме тех, при которых корни -5 и 7 попадают в интервал $(- 5; 7)$.

Итак, значения $b$, при которых множество решений заданного неравенства равно $(- \infty; - 5) \cup (7; + \infty)$, будут такими, что -5 и 7 не принадлежат интервалу $(- 5; 7)$. Это означает, что $b$ не может быть в интервале $(-6; 6)$, но может быть любым другим числом.

Таким образом, для $b$ таких, что $b \notin (-6; 6)$, множество решений неравенства $(x + b)^2 \cdot (x - 7)(x + 5) > 0$ будет равно $(- \infty; - 5) \cup (7; + \infty)$.