Question

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей.

Answer 1

Начнем с предположения, что первое число равно 0. Тогда второе число будет 8. Сумма куба первого числа (0^3 = 0) и квадрата второго числа (8^2 = 64) будет равна 64.Затем мы будем увеличивать первое число и уменьшать второе число, постепенно приближаясь к наименьшей сумме. Для каждого значения первого числа от 0 до 8 мы вычисляем сумму куба первого числа и квадрата второго числа.Таким образом, мы получаем следующие значения:При первом числе равном 0, сумма куба первого числа и квадрата второго числа равна 64.При первом числе равном 1, сумма равна 65.При первом числе равном 2, сумма равна 72.При первом числе равном 3, сумма равна 81.При первом числе равном 4, сумма равна 92.При первом числе равном 5, сумма равна 105.При первом числе равном 6, сумма равна 120.При первом числе равном 7, сумма равна 137.При первом числе равном 8, сумма равна 156.Таким образом, наименьшая сумма куба первого числа и квадрата второго числа равна 64, которая достигается при представлении числа 8 в виде суммы 0 и 8 (8 = 0 + 8).

Answer 2

Для представления числа 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел (x и y) так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей, мы можем использовать метод нахождения минимума функции f(x, y) = x^3 + y^2 при условии, что x + y = 8.

Для начала, выразим y из условия x + y = 8: y = 8 - x.

Теперь подставим это выражение в функцию f(x, y): f(x) = x^3 + (8 - x)^2.

Далее найдем производную функции f(x) и приравняем её к нулю, чтобы найти точку минимума: f'(x) = 3x^2 - 2(8 - x) = 3x^2 - 16 + 2x = 0.

Теперь решим это уравнение: 3x^2 - 16 + 2x = 0.

Для упрощения можно поделить обе стороны на 1 (чтобы избежать больших коэффициентов): 3x^2 + 2x - 16 = 0.

Решив это уравнение, мы найдем значения x. После этого можем найти соответствующие значения y (y = 8 - x). Вычислим x:

x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 3 * (-16))) / (2 * 3), x = (-2 ± √(4 + 192)) / 6, x = (-2 ± √196) / 6, x = (-2 ± 14) / 6.

Теперь вычислим два возможных значения x:

1. x1 = (12 / 6) = 2,
2. x2 = (-16 / 6) = -8/3.

Теперь найдем соответствующие значения y:

1. Для x1: y1 = 8 - 2 = 6,
2. Для x2: y2 = 8 - (-8/3) = 32/3.

Теперь у нас есть две пары чисел (x1, y1) и (x2, y2), которые удовлетворяют условию x + y = 8. Проверим значения функции f(x, y) для обеих пар:

1. Для (x1, y1): f(2, 6) = 2^3 + 6^2 = 8 + 36 = 44.

2. Для (x2, y2): f(-8/3, 32/3) = (-8/3)^3 + (32/3)^2 = -512/27 + 1024/9 ≈ 90.37.

Итак, наименьшее значение функции f(x, y) достигается при (x1, y1), где x1 = 2 и y1 = 6. Таким образом, число 8 можно представить в виде суммы 2 и 6 так, чтобы сумма куба первого числа и квадрата второго была наименьшей, и значение этой суммы будет равно 44.