Question

Найдите минимальное значение функции (1;60) y= х корень х- 9х + 19

Answer 1

Для нахождения минимального значения функции, нужно найти координаты точки, в которой достигается минимум. Для этого можно использовать производную функции.

Исходная функция: y = x√x - 9x + 19

Берем производную функции y по x:
y' = (3/2)x^(1/2) - 9

Находим точку, в которой производная равна нулю:
0 = (3/2)x^(1/2) - 9

(3/2)x^(1/2) = 9

Умножаем обе части уравнения на (2/3):
x^(1/2) = 6

Возводим обе части уравнения в квадрат:
x = 36

Теперь нам нужно проверить, достигает ли функция минимума в точке x = 36. Для этого можно использовать вторую производную.

Берем вторую производную функции y по x:
y'' = (3/4)x^(-1/2)

Подставляем x = 36 во вторую производную:
y''(36) = (3/4)(36)^(-1/2) = (3/4)(1/6) = 1/8 > 0

Так как вторая производная положительна, это означает, что функция имеет минимум в точке x = 36.

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 36 в исходную функцию:
y(36) = 36√36 - 9(36) + 19
= 36*6 - 324 + 19
= 216 - 324 + 19
= -89

Таким образом, минимальное значение функции y = x√x - 9x + 19 в точке (36, -89).

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции $y = x\sqrt{x} - 9x + 19$ на интервале (1; 60), нам нужно найти критические точки, где производная функции равна нулю, и затем определить, какая из этих точек является минимумом.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (x\sqrt{x} - 9x + 19).$

2. Вычислим производную: $y' = \frac{d}{dx} (x\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(19).$

3. Для вычисления производных компонентов функции, используем правила дифференцирования:

• $\frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) = \frac{1}{2}x^\frac{1}{2} + x^\frac{3}{2}$
• $\frac{d}{dx}(9x) = 9$
• $\frac{d}{dx}(19) = 0$

4. Теперь объединим производные и упростим выражение: $y' = \frac{1}{2}x^\frac{1}{2} + x^\frac{3}{2} - 9.$

5. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{2}x^\frac{1}{2} + x^\frac{3}{2} - 9 = 0.$

6. Решим это уравнение численно, например, с использованием метода Ньютона, численных методов в программе или калькуляторе. Подставим начальное приближение $x_0 = 10$:

Процесс нахождения корня: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)},$

где $f(x) = \frac{1}{2}x^\frac{1}{2} + x^\frac{3}{2} - 9$.

Повторяем этот процесс до тех пор, пока значение $x$ не стабилизируется.

7. После нахождения критических точек, оценим значения функции $y$ в этих точках и найдем минимальное значение. Однако, так как уравнение имеет корни как вещественные, так и комплексные, вычисление может быть сложным. Так что, скорее всего, потребуется использовать программное обеспечение или калькулятор с численным методом для нахождения точных значений.

Как только найдете значения $x$ для критических точек, подставьте их в функцию $y$ для определения соответствующих значений $y$. Наименьшее из этих значений $y$ будет минимальным значением функции на интервале (1; 60).