Question

Решить уравнение: 1/х + х +х^2+...+x^n+...=3,5. Где |х|<1. Сразу говорю, что ответа два. Один у меня сошёлся, а второй - нет. Первый, который сошёлся - 1/3. Нужно при решении, естественно, задействовать геом. прогрессию.

Answer 1

1/х + х +х^2+...+x^n+...=3,5

1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=3,5+1

1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=4,5

 

(b[1]=1/x, b[2]=1, q=b[2]/b[1]=1/(1/x)=x)

(S=b[1]/(1-q)  , S=1/(x(1-x)) )

 

 

1/(x(1-x))=4.5

4.5x(1-x)=1

4.5x^2-4.5x+1=0

D=2.25

x1=(4.5-1.5)/(2*4.5)=3/9=1/3

x2=(4.5+1.5)/(2*4.5)=6/9=2/3

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

1/x + x + x^2 + ... + x^n + ... = 3.5

Для того чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться свойством геометрической прогрессии. Для этого представим данное уравнение в следующем виде:

S = 1/x + x + x^2 + ... + x^n + ...

где S - сумма бесконечного ряда.

Теперь умножим обе стороны уравнения на x:

Sx = x * (1/x) + x^2 + x^3 + ... + x^(n+1) + ...

Теперь выразим S из обоих уравнений:

S = 1/x + x + x^2 + ... + x^n + ... (1)

Sx = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ... (2)

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

Sx - S = (1 + x + x^2 + ... + x^n + ...) - (1/x + x + x^2 + ... + x^n + ...)

Теперь мы видим, что большинство слагаемых сокращаются:

Sx - S = 1 - (1/x)

Теперь выразим S:

Sx - S = 1 - (1/x)

Sx - S = (x - 1)/x

S(x - 1) = (x - 1)/x

Теперь делим обе стороны на (x - 1):

S = 1/x

Теперь, чтобы найти значение S, при котором S = 3.5, подставим это значение в уравнение:

1/x = 3.5

Теперь найдем значение x:

x = 1/3.5

x = 2/7

Итак, одним из корней уравнения является x = 2/7.

Однако, как вы указали, есть второй корень. Давайте рассмотрим второй корень:

Sx - S = 1 - (1/x)

S(x - 1) = 1 - (1/x)

S(x - 1) = (x - 1)/x

Поделим обе стороны на (x - 1):

S = 1/x

Теперь, чтобы найти значение S, при котором S = 3.5, подставим это значение в уравнение:

1/x = 3.5

x = 1/3.5

x = 2/7

Мы получили тот же самый корень x = 2/7. Таким образом, существует только одно решение для данного уравнения, которое равно x = 2/7.