Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение и найти все корни,принадлежащие отрезку [2п;7п/2] (cos2x + √3 sinx -1)/(tgx - √3) =0

Answer 1

Надеюсь разберёшься)

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

(cos(2x) + √3sin(x) - 1) / (tan(x) - √3) = 0

Чтобы решить это уравнение, давайте сначала упростим его:

cos(2x) + √3sin(x) - 1 = 0 (мы умножили обе стороны на (tan(x) - √3))

Теперь давайте воспользуемся формулами для синуса и косинуса двойного угла:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 sin(x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим их в уравнение:

2cos^2(x) - 1 + √3 * 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Упростим:

2cos^2(x) + √3 * 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

Теперь давайте разделим это уравнение на 2:

cos^2(x) + √3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cos(x). Для удобства введем новую переменную t = cos(x):

t^2 + √3t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (√3)^2 - 41(-1) = 3 + 4 = 7

Теперь найдем два значения t с помощью квадратного корня:

t1 = (-√3 + √7) / 2 t2 = (-√3 - √7) / 2

Теперь мы знаем значения cos(x). Чтобы найти соответствующие значения x, мы можем использовать обратный косинус:

x1 = arccos((-√3 + √7) / 2) x2 = arccos((-√3 - √7) / 2)

Однако учтите, что этот метод может давать нам дополнительные корни из-за периодичности тригонометрических функций. Чтобы учесть все корни, принадлежащие отрезку [2π, 7π/2], добавьте к найденным корням все кратные значения периода. Период косинуса и синуса равен 2π, поэтому добавьте 2πn к каждому корню, где n - целое число:

x1 = arccos((-√3 + √7) / 2) + 2πn1 x2 = arccos((-√3 - √7) / 2) + 2πn2

где n1 и n2 - целые числа, которые могут принимать значения так, чтобы корни лежали в интервале [2π, 7π/2].