Question

Вычислить площадь фигуры ограниченой графика функции у=(х-2)^2 и прямыми х=0;у=0;х=3.

Answer 1

S=интеграл((x -2)²)dx =1/3*(x-2)³   [ границы интегрирования  0↓  3 ↑  ] =
=1/3*((3-2)³ -(0-2)³)=1/3*(1+8) = 3.

Answer 2

Для нахождения площади надо взять определенный интеграл. Ответ: 3. Решение в файле.

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (x - 2)^2 и прямыми x = 0, y = 0 и x = 3, нужно разбить эту фигуру на части и вычислить площадь каждой части отдельно.

1. Сначала найдем точки пересечения графика функции y = (x - 2)^2 с прямыми x = 0 и x = 3. Для этого решим уравнения:

x = 0: 0 = (x - 2)^2 x - 2 = 0 x = 2

x = 3: 3 = (x - 2)^2 √3 = |x - 2| x - 2 = ±√3 x = 2 ± √3

Теперь у нас есть две точки пересечения: (2, 0) и (2 + √3, 0).

2. Площадь фигуры можно разделить на три части:

• Между x = 0 и x = 2 (левая половина фигуры)
• Между x = 2 и x = 2 + √3 (средняя часть фигуры)
• Между x = 2 + √3 и x = 3 (правая половина фигуры)

Для вычисления площади каждой части используем интеграл. Функция y = (x - 2)^2 представляет собой параболу, и мы можем выразить ее интеграл:

∫[a, b] (x - 2)^2 dx, где a и b - границы интегрирования.

1. Для левой половины (между x = 0 и x = 2):

∫[0, 2] (x - 2)^2 dx

Вычислим интеграл:

∫[0, 2] (x^2 - 4x + 4) dx = [(1/3)x^3 - 2x^2 + 4x] |[0, 2] = [(1/3)(2^3) - 2(2^2) + 4(2)] - [(1/3)(0^3) - 2(0^2) + 4(0)] = (8/3) - (0) = 8/3

2. Для средней части (между x = 2 и x = 2 + √3):

∫[2, 2 + √3] (x - 2)^2 dx

Вычислим интеграл:

∫[2, 2 + √3] (x^2 - 4x + 4) dx = [(1/3)x^3 - 2x^2 + 4x] |[2, 2 + √3]

Подставим верхний предел интегрирования:

[(1/3)(2 + √3)^3 - 2(2 + √3)^2 + 4(2 + √3)]

Теперь подставим нижний предел интегрирования:

• [(1/3)(2^3) - 2(2^2) + 4(2)]

Теперь вычислим значение этого выражения:

[(1/3)(2 + √3)^3 - 2(2 + √3)^2 + 4(2 + √3)] - [(1/3)(2^3) - 2(2^2) + 4(2)]

≈ 0.551

3. Для правой половины (между x = 2 + √3 и x = 3):

∫[2 + √3, 3] (x - 2)^2 dx

Вычислим интеграл:

∫[2 + √3, 3] (x^2 - 4x + 4) dx = [(1/3)x^3 - 2x^2 + 4x] |[2 + √3, 3]

Подставим верхний предел интегрирования:

[(1/3)(3^3) - 2(3^2) + 4(3)]

Теперь подставим нижний предел интегрирования:

• [(1/3)(2 + √3)^3 - 2(2 + √3)^2 + 4(2 + √3)]

Вычислим значение этого выражения:

[(1/3)(3^3) - 2(3^2) + 4(3)] - [(1/3)(2 + √3)^3 - 2(2 + √3)^2 + 4(2 + √3)]

≈ 2.183

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (x - 2)^2 и прямыми x = 0, y = 0, x = 3, равна сумме площадей этих трех частей:

(8/3) + 0.551 + 2.183 ≈ 10.734

Площадь фигуры составляет приближенно 10.734 квадратных единиц.