Question

Решите уравнение 5cos^2x - sinxcosx = 2 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (-п;п/2)

Answer 1

Решение во вложении--------------------

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 5cos^2x - sinxcosx = 2

Для начала давайте заменим sinxcosx на 2sinxcosx с использованием тригонометрической идентичности: 5cos^2x - 2sinxcosx = 2

Теперь мы можем преобразовать левую часть уравнения с использованием формулы двойного угла для синуса: 5cos^2x - sin2x = 2

Заметим, что sin2x = 2sinxcosx, поэтому уравнение примет вид: 5cos^2x - 2sinxcosx = 2

Теперь мы имеем уравнение с двумя переменными, cosx и sinx. Давайте попробуем выразить одну переменную через другую, используя тригонометрическую идентичность sin^2x + cos^2x = 1. Мы можем выразить, например, sinx через cosx:

sin^2x = 1 - cos^2x sinx = ±√(1 - cos^2x)

Теперь подставим это выражение в уравнение: 5cos^2x - 2(±√(1 - cos^2x))cosx = 2

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx. Давайте его решим.

5cos^2x - 2(±√(1 - cos^2x))cosx - 2 = 0

Сначала рассмотрим положительный знак: 5cos^2x - 2√(1 - cos^2x)cosx - 2 = 0

Теперь рассмотрим отрицательный знак: 5cos^2x + 2√(1 - cos^2x)cosx - 2 = 0

Теперь решим оба уравнения.

1. Уравнение с положительным знаком: 5cos^2x - 2√(1 - cos^2x)cosx - 2 = 0

Сделаем замену: u = cosx Тогда уравнение примет вид: 5u^2 - 2√(1 - u^2)u - 2 = 0

Решим это уравнение как квадратное относительно u.

2. Уравнение с отрицательным знаком: 5cos^2x + 2√(1 - cos^2x)cosx - 2 = 0

Сделаем ту же замену: u = cosx Тогда уравнение примет вид: 5u^2 + 2√(1 - u^2)u - 2 = 0

Решим это уравнение как квадратное относительно u.

После решения обоих уравнений мы найдем значения cosx. Затем мы сможем найти соответствующие значения sinx и проверить их на соответствие заданному интервалу (-π; π/2).