Question

А) решите уравнение 4cos^4x-cos2x-1=0 Б)найдите все корни этого уравнения принадлежащие интервалу(-3pi;-3pi/2)

Answer 1

4cos^4 x - 2cos^2 x + 1 - 1 = 0
2cos^2 x*(2cos^2 x - 1) = 0
1) cos^2 x = 0; cos x = 0; x1 = pi/2 + pi*k
2) 2cos^2 x - 1 = cos 2x = 0;
2x = pi/2 + 2pi*k; x2 = pi/4 + pi*k
2x = -pi/2 + 2pi*k; x3 = -pi/4 + pi*k
Корни x2 и x3 можно объединить в один
x2 = pi/4 + pi/2*k
На отрезке [-3pi; -3pi/2] будут корни
x1 = pi/4 - 3pi = -11pi/4
x2 = pi/2 - 3pi = -5pi/2
x3 = 3pi/4 - 3pi = -9pi/4
x4 = 5pi/4 - 3pi = -7pi/4
x5 = 3pi/2 - 3pi = -3pi/2

Answer 2

Давайте решим уравнение \(4\cos^4x - \cos2x - 1 = 0\).

Обозначим \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[4y^4 - 2y^2 - 1 = 0.\]

Это квадратное уравнение относительно \(y^2\). Решим его.

\[y^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае \(a = 4\), \(b = -2\), \(c = -1\). Подставим значения:

\[y^2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}.\]

\[y^2 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8}.\]

\[y^2 = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8}.\]

\[y^2 = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8}.\]

\[y^2 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}.\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(y^2\):

1. \(y^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\) 2. \(y^2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\)

Теперь вернемся к переменной \(x\) и используем свойства косинуса:

1. \(y^2 = \cos^2 x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\) 2. \(y^2 = \cos^2 x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\)

Теперь найдем значения \(x\):

1. \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{4}}\) 2. \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 - \sqrt{5}}{4}}\)

Теперь рассмотрим интервал \((-3\pi, -\frac{3\pi}{2})\). На этом интервале косинус отрицателен. Таким образом, нас интересуют только отрицательные значения косинуса. Возьмем только знак "-" перед корнем.

1. \(\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{4}}\) 2. \(\cos x = -\sqrt{\frac{1 - \sqrt{5}}{4}}\)

Теперь найдем значения \(x\):

1. \(\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{4}}\) \[\cos x = -\frac{\sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2}\] \[x = \arccos\left(-\frac{\sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2}\right)\]

2. \(\cos x = -\sqrt{\frac{1 - \sqrt{5}}{4}}\) \[\cos x = -\frac{\sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2}\] \[x = \arccos\left(-\frac{\sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2}\right)\]

Это будут значения \(x\) на интервале \((-3\pi, -\frac{3\pi}{2})\). Важно помнить, что функция \(\arccos\) возвращает значения в диапазоне \([0, \pi]\), поэтому для нашего интервала значения будут отрицательными.