Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=e^2x-4e^x+7 на отрезке [-1;1]

Answer 1

На концах отрезка
f(-1) = e^(-2) - 4e^(-1) + 7 = 1/e^2 - 4/e + 7 ~ 5,66
f(1) = e^2 - 4e + 7 ~ 3,515
Найдем точки экстремума, в которых f ' (x) = 0
f ' (x) = 2e^(2x) - 4e^x = 0
2e^(2x) = 4e^x
(e^x)^2 = 2e^x
e^x = 2
x = ln 2
f(ln 2) = 2^2 - 4*2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 - минимум
Ответ: 3

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = e^{2x} - 4e^x + 7$ на отрезке $[-1;1]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 4e^x + 7)$

Используя правила дифференцирования, получим:

$f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x$

2. Найдите критические точки функции $f(x)$, где $f'(x) = 0$:

$2e^{2x} - 4e^x = 0$

Факторизуем это уравнение:

$2e^x(e^x - 2) = 0$

Теперь решим два уравнения:

a. $2e^x = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция $e^x$ всегда положительна.

b. $e^x - 2 = 0$

$e^x = 2$

Теперь найдем единственное решение:

$x = \ln(2)$

3. Теперь найдите значение функции $f(x)$ в критической точке и на концах интервала $[-1;1]$:

a. $f(-1) = e^{-2} - 4e^{-1} + 7$

b. $f(1) = e^{2} - 4e^{1} + 7$

c. $f(\ln(2)) = 2 - 8\ln(2) + 7$

4. Сравните значения функции $f(x)$ в найденных точках и выберите наименьшее значение.

Таким образом, найденное наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-1;1]$ будет ответом на ваш вопрос.