Question

Докажите что 2^15 - 4^8 + 8^6 делится на 14

Answer 1

2 в 15 степени = 32768
4 в 8 степени = 65536
8 в 6 степени = 262144
Итого: 32768-65536+262144= 229376
229376:14=16384 Ч.Т.Д)

Answer 2

Для доказательства, что выражение $2^{15} - 4^8 + 8^6$ делится на 14, мы можем воспользоваться свойствами деления на 14.

Для начала, выразим каждое из чисел в выражении в виде степени числа 2:

$2^{15} = 2^{7 \cdot 2} = (2^7)^2 = 128^2$

$4^8 = (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16}$

$8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$

Теперь мы можем переписать наше выражение:

$2^{15} - 4^8 + 8^6 = 128^2 - 2^{16} + 2^{18}$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$128^2 - 2^{16} + 2^{18} = 128^2 - (2^{16} - 2^{18})$

Обратите внимание, что $2^{16} - 2^{18}$ можно факторизовать:

$2^{16} - 2^{18} = 2^{16}(1 - 2^2) = 2^{16}(1 - 4) = 2^{16} \cdot (-3) = -3 \cdot 2^{16}$

Теперь мы можем переписать наше выражение так:

$128^2 - (-3 \cdot 2^{16}) = 128^2 + 3 \cdot 2^{16}$

Теперь давайте проверим, делится ли это выражение на 14. Мы знаем, что 14 = 7 * 2, поэтому для того чтобы выражение делилось на 14, оно должно делиться и на 2, и на 7.

1. Деление на 2: $128^2 + 3 \cdot 2^{16}$ явно делится на 2, так как содержит чётное число.
2. Деление на 7: Для того чтобы проверить, делится ли выражение на 7, мы можем взглянуть на остаток от деления на 7. Давайте разделим $128^2$ и $3 \cdot 2^{16}$ на 7:

$128^2 \mod 7 = 4^2 \mod 7 = 16 \mod 7 = 2$

$3 \cdot 2^{16} \mod 7 = 3 \cdot (2^3)^{5} \mod 7 = 3 \cdot 8^5 \mod 7$

Заметим, что $8^5$ делится на 7 без остатка (поскольку $8^5 = 2^{15}$), поэтому $3 \cdot 8^5 \mod 7 = 3 \cdot 0 \mod 7 = 0$.

Итак, $128^2 + 3 \cdot 2^{16} \mod 7 = 2 + 0 \mod 7 = 2$.

Поскольку остаток от деления равен 2 (не ноль), это выражение не делится на 7.

Таким образом, выражение $2^{15} - 4^8 + 8^6$ не делится на 14, потому что остаток от деления на 7 не равен нулю.