Question

Решите задачу tg^2x-sin^2x-tg^2xsin^2x

Answer 1

Tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x)
2sin^2(x) + sin^2(x) / cos^2(x) = 2 - домножим обе части уравнения на cos^2(x)
2*sin^2(x)*cos^2(x) + sin^2(x) = 2*cos^2(x)
cos^2(x) = 1-sin^2(x) - из основного тригонометрического тождества
2*sin^2(x)*(1-sin^2(x)) + sin^2(x) - 2*(1-sin^2(x)) = 0
sin^2(x) = t - замена, для удобства упрощения. (0<=t<=1)
2t*(1-t) + t - 2(1-t)=0
2t - 2t^2 + t - 2 + 2t = 0
5t - 2t^2 -2 = 0
2t^2 - 5t +2 =0 - квадратное уравнение
D=25-4*2*2 = 25-16=9 >0 - два различных корня
t1=(5-3)/4 = 2/4 = 1/2
t2 = (5+3)/4 = 8/4 = 2 - не является корнем, не удовл. условию замены
sin^2(x) = 1/2
1) sin(x) = sqrt2 / 2
x=pi/4 + 2pi*k
2) sin(x) = - sqrt2 / 2
x= 3pi/4 + 2pi*k

Answer 2

Давайте разберёмся с этим выражением:

tg^2x - sin^2x - tg^2x * sin^2x

Сначала давайте учтем, что tg^2x = sin^2x / cos^2x. Заменим tg^2x в выражении:

(sin^2x / cos^2x) - sin^2x - (sin^2x / cos^2x) * sin^2x

Теперь общий знаменатель для первых двух членов - это cos^2x. Приведем дроби к общему знаменателю:

(sin^2x - sin^2x * cos^2x) / cos^2x - (sin^2x * sin^2x) / cos^2x

Сократим общий знаменатель:

(sin^2x - sin^2x * cos^2x - sin^4x) / cos^2x

Теперь факторизуем общий числитель:

sin^2x * (1 - cos^2x - sin^2x) / cos^2x

Используем тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1:

sin^2x * (1 - 1) / cos^2x

sin^2x * 0 / cos^2x = 0

Итак, результат данного выражения равен 0.