Question

Решите в натуральных числах уравнение 1/n+1/m=1/16, где m>n

Answer 1

Рассмотрите такое решение:
1. Сначала необходимо выразить одну неизвестную через другую:
$\frac{1}{m} = \frac{1}{16} -\frac{1}{n} =\ \textgreater \ m=\frac{16n}{n-16} =\ \textgreater \ m=16+ \frac{256}{n-16}$
2.Из выражения несложно увидеть, что делителями 256 являются натуральные числа: 1, 2,4,8,16,32,64,128 и 256 (такой результат должен получаться в знаменателе!). Значит, n=17,18,20,24,32,48,80,144 и 272, при этом получится, что, соответственно, m=272,144,80,48,32,24,20,180 и 17.
3. Исходя из условия m>n, получаем пары: (272;17), (144;18), (80;20) и (48;24).

Answer 2

Данное уравнение является диофантовым уравнением с двумя переменными. Мы ищем натуральные числа $m$ и $n$, которые удовлетворяют уравнению $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{16}$, при условии $m > n$.

Давайте попробуем решить это уравнение.

Умножим обе стороны уравнения на $16nm$, чтобы избавиться от знаменателей:

$16m + 16n = nm.$

Переносим всё в одну часть:

$nm - 16m - 16n = 0.$

Применим метод решения квадратных диофантовых уравнений, представив уравнение как квадратное относительно переменной $n$:

$n^2 - 16n - 16m = 0.$

Теперь воспользуемся квадратным дискриминантом $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16m) = 256 + 64m.$

Для того чтобы уравнение имело целочисленные корни $n$, дискриминант $\Delta$ должен быть полным квадратом. Другими словами, существует натуральное число $k$, такое что $256 + 64m = k^2$.

Теперь мы можем переписать это как:

$64m = k^2 - 256 = (k + 16)(k - 16).$

Мы знаем, что $m$ является натуральным числом, и $m > n$, поэтому $m$ должно быть больше 1. Это означает, что $k + 16$ и $k - 16$ должны быть оба больше 1. Также, поскольку $k$ натуральное число, $k + 16$ и $k - 16$ также должны быть четными.

Рассмотрим несколько пар значений $k + 16$ и $k - 16$, которые удовлетворяют этим условиям:

$$\begin{align*} k + 16 &= 2, \quad k - 16 = 32, \quad \text{но } m > n, \text{ так что это не подходит.} \\ k + 16 &= 4, \quad k - 16 = 16, \quad \text{но } m > n, \text{ так что это не подходит.} \\ k + 16 &= 8, \quad k - 16 = 8, \quad \text{но } m > n, \text{ так что это не подходит.} \\ k + 16 &= 16, \quad k - 16 = 4, \quad \text{это подходит!} \\ k + 16 &= 32, \quad k - 16 = 2, \quad \text{но } m > n, \text{ так что это не подходит.} \\ \end{align*}$$

Таким образом, когда $k + 16 = 16$ и $k - 16 = 4$, мы имеем $k = 0$, что невозможно, так как $k$ должно быть натуральным числом.

Следовательно, данное диофантово уравнение $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{16}$ не имеет решений в натуральных числах $m$ и $n$, удовлетворяющих условию $m > n$.