Question

Найдите частные производные dz/dx и dz/dy от функции z=f(x,y) z=xy-x/y

Answer 1

Dz/dx=y-1/y;
dz/dy=x+x/y^2.

Answer 2

Дана функция z = f(x, y) = xy - x/y. Давайте найдем её частные производные по x и y.

Частная производная dz/dx: Для этого найдем производную функции z по x, считая y константой: dz/dx = (d/dx)(xy) - (d/dx)(x/y)

Для первого слагаемого мы используем правило производной произведения функций (u*v)' = u'v + uv': (d/dx)(xy) = y * d/dx(x) + x * d/dx(y) = y + 0 = y

Для второго слагаемого мы будем использовать правило производной отношения функций (u/v)' = (u'v - uv') / v^2: (d/dx)(x/y) = (1y - x0) / y^2 = 1/y

Таким образом, частная производная dz/dx равна: dz/dx = y - 1/y

Частная производная dz/dy: Для этого найдем производную функции z по y, считая x константой: dz/dy = (d/dy)(xy) - (d/dy)(x/y)

Для первого слагаемого мы снова используем правило производной произведения функций: (d/dy)(xy) = x * d/dy(y) + y * d/dy(x) = x + 0 = x

Для второго слагаемого мы опять применяем правило производной отношения функций: (d/dy)(x/y) = (0y - x1) / y^2 = -x/y^2

Таким образом, частная производная dz/dy равна: dz/dy = x - x/y^2

Итак, частные производные функции z = f(x, y) = xy - x/y по x и y соответственно: dz/dx = y - 1/y dz/dy = x - x/y^2