Question

Решите уравнение f(2-x)=g(x+1), где f(x) и g (x) функции определённые на R и при всех x принадлежащих R удовлетворяющие равенствам: 2f(x+1)-g(3-x)=2x^2 +11x-4.f(3-x)+g(x+1)=x^2-5x+19.

Answer 1

Подставим в равенство f(3 - x) + g(x + 1) = x^2 - 5x + 19 вместо x выражение 2 - x. Получим:
f(3 - (2 - x)) + g((2 - x) + 1) = (2 - x)^2 - 5(2 - x) + 19
f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13

Складываем полученное уравнение с 2f(x + 1) - g(3 - x) = 2x^2 + 11x - 4:
3f(x + 1) = 3x^2 + 12x + 9
f(x + 1) = x^2 + 4x + 3 — меняем x на x - 1
f(x) = (x - 1)^2 + 4(x - 1) + 3
f(x) = x^2 + 2x

Подставляем f(x + 1) в равенство f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13 и находим g:
x^2 + 4x + 3 + g(3 - x) = x^2 + x + 13
g(3 - x) = 10 - 3x — меняем x на  3 - x
g(x) = 10 - 3(3 - x)
g(x) = 3x + 1

Теперь можно решать уравнение f(2 - x) = g(x + 1).
(2 - x)^2 + 2 (2 - x) = 3 (x + 1) + 1
x^2 - 6x + 8 = 3x + 4
x^2 - 9x + 4 = 0
D = 9^2 - 4 * 4 = 65
x = (9 +- √65)/2

Answer 2

Дано уравнение:

f(2-x) = g(x+1)

И даны системы уравнений:

1. 2f(x+1) - g(3-x) = 2x^2 + 11x - 4
2. f(3-x) + g(x+1) = x^2 - 5x + 19

Давайте начнем с решения системы уравнений, чтобы найти значения функций f(x) и g(x).

Сначала рассмотрим уравнение (1):

2f(x+1) - g(3-x) = 2x^2 + 11x - 4

Затем рассмотрим уравнение (2):

f(3-x) + g(x+1) = x^2 - 5x + 19

Теперь выразим f(x+1) из уравнения (1):

2f(x+1) = g(3-x) + 2x^2 + 11x - 4 f(x+1) = (g(3-x) + 2x^2 + 11x - 4) / 2

Подставим это значение в уравнение (2):

(g(3-x) + 2x^2 + 11x - 4) / 2 + g(x+1) = x^2 - 5x + 19

Расставим скобки и упростим:

g(3-x)/2 + x^2 + (11/2)x - 2 = x^2 - 5x + 19 - g(x+1)/2

Теперь выразим g(3-x) и g(x+1):

g(3-x) = 2(x^2 - 5x + 19) - 2x^2 - 11x + 4 = 2x^2 - 21x + 38 g(x+1) = 2(x^2 - 5x + 19) - 2x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 6x + 36

Теперь у нас есть выражения для g(3-x) и g(x+1). Мы можем подставить их обратно в уравнение для f(x+1):

f(x+1) = (2x^2 - 21x + 38 + 2x^2 + 11x - 4) / 2 f(x+1) = (4x^2 - 10x + 34) / 2 f(x+1) = 2x^2 - 5x + 17

Теперь мы можем использовать это значение f(x+1) в начальном уравнении:

f(2-x) = g(x+1) f(2-x) = 2x^2 + 6x + 36

Теперь нам нужно решить уравнение f(2-x) = 2x^2 + 6x + 36:

2x^2 - 5x + 17 = 2x^2 + 6x + 36

-5x + 17 = 6x + 36

11x = 19

x = 19 / 11

Таким образом, решение уравнения x равно 19/11.