Question

Решите уравнение f(2-x)=g(x+1), где f(x) и g (x) функции определённые на R и при всех x принадлежащих R удовлетворяющие равенствам:2f(x+1)-g(3-x)=2x^2 +11x-4.f(3-x)+g(x+1)=x^2-5x+19.

Answer 1

Подставим в равенство f(3 - x) + g(x + 1) = x^2 - 5x + 19 вместо x выражение 2 - x. Получим:
f(3 - (2 - x)) + g((2 - x) + 1) = (2 - x)^2 - 5(2 - x) + 19
f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13

Складываем полученное уравнение с 2f(x + 1) - g(3 - x) = 2x^2 + 11x - 4:
3f(x + 1) = 3x^2 + 12x + 9
f(x + 1) = x^2 + 4x + 3 — меняем x на x - 1
f(x) = (x - 1)^2 + 4(x - 1) + 3
f(x) = x^2 + 2x

Подставляем f(x + 1) в равенство f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13 и находим g:
x^2 + 4x + 3 + g(3 - x) = x^2 + x + 13
g(3 - x) = 10 - 3x — меняем x на  3 - x
g(x) = 10 - 3(3 - x)
g(x) = 3x + 1

Теперь можно решать уравнение f(2 - x) = g(x + 1).
(2 - x)^2 + 2 (2 - x) = 3 (x + 1) + 1
x^2 - 6x + 8 = 3x + 4
x^2 - 9x + 4 = 0
D = 9^2 - 4 * 4 = 65
x = (9 +- √65)/2