Question

Решите уравнение f(2-x)=g(x+1), где f(x) и g (x) функции определённые на R и при всех x принадлежащих R удовлетворяющие равенствам:2f(x+1)-g(3-x)=2x^2 +11x-4.f(3-x)+g(x+1)=x^2-5x+19.

Answer 1

Подставим в равенство f(3 - x) + g(x + 1) = x^2 - 5x + 19 вместо x выражение 2 - x. Получим:
f(3 - (2 - x)) + g((2 - x) + 1) = (2 - x)^2 - 5(2 - x) + 19
f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13

Складываем полученное уравнение с 2f(x + 1) - g(3 - x) = 2x^2 + 11x - 4:
3f(x + 1) = 3x^2 + 12x + 9
f(x + 1) = x^2 + 4x + 3 — меняем x на x - 1
f(x) = (x - 1)^2 + 4(x - 1) + 3
f(x) = x^2 + 2x

Подставляем f(x + 1) в равенство f(x + 1) + g(3 - x) = x^2 + x + 13 и находим g:
x^2 + 4x + 3 + g(3 - x) = x^2 + x + 13
g(3 - x) = 10 - 3x — меняем x на  3 - x
g(x) = 10 - 3(3 - x)
g(x) = 3x + 1

Теперь можно решать уравнение f(2 - x) = g(x + 1).
(2 - x)^2 + 2 (2 - x) = 3 (x + 1) + 1
x^2 - 6x + 8 = 3x + 4
x^2 - 9x + 4 = 0
D = 9^2 - 4 * 4 = 65
x = (9 +- √65)/2

Answer 2

Для решения уравнения f(2-x)=g(x+1) мы можем использовать систему уравнений, которая дана в условии:

1) 2f(x+1)-g(3-x)=2x^2+11x-4 2) f(3-x)+g(x+1)=x^2-5x+19

Для начала решим систему уравнений. Для этого сложим обе стороны уравнений:

2f(x+1) - g(3-x) + f(3-x) + g(x+1) = 2x^2+11x-4 + x^2-5x+19

Получаем:

2f(x+1) + f(3-x) + g(x+1) - g(3-x) = 3x^2+6x+15

Теперь выразим f(2-x) и g(x+1) через f(x) и g(x):

f(2-x) = f(x-1) g(x+1) = g(x-1)

Подставляем выражения в уравнение f(2-x)=g(x+1):

2f(x-1) + f(3-x) + g(x-1) - g(3-x) = 3x^2+6x+15

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет функций f(2-x) и g(x+1). Мы можем решить его относительно x, а затем использовать полученное значение x, чтобы найти f(2-x) и g(x+1).

Далее решение уравнения будет зависеть от конкретных функций f(x) и g(x), которые не указаны в условии. Если были предоставлены конкретные функции, можно было бы найти их значения и решить уравнение.