Question

Найти точку пересечения плоскости A: 3x-z=7 прямой l, перпендикулярной плоскости A и проходящей через точку M(-3;2;4)

Answer 1

Составим параметрические уравнение прямой, перпендикулярной плоскости А: 3x-z-7=0 и проходящей через точку М( -3,2,4).
У этой прямой направляющий вектор будет совпадать с нормальным вектором плоскости А:    $\vec{n}=(3,0,-1)=\vec{s}$  .

$l:\; \left\{\begin{array}{l}x=3t-3\\y=2\\z=-t+4\end{array}\right$ 

Точку пересечения прямой и плоскости можно найти, подставив вместо х, у, и z выражения из параметрических уравнений прямой.

$3\, (3t-3)-(4-t)-7=0\\\\9t-9-4+t-7=0\\\\10t=20\; ,\; \; t=2$

Мы нашли значение параметра t=2 , при котором при подстановке его в параметрические уравнения,  получим координаты точки пересечения прямой и плоскости  M₀.

$x_0=3\cdot 2-3=3\\\\y_0=2\\\\z_0=-2+4=2\\\\M_0(3,2,2)$

Answer 2

Для найти точку пересечения прямой l с плоскостью A, нам нужно найти координаты точки, которая принадлежит как прямой l, так и плоскости A. Поскольку прямая l перпендикулярна плоскости A, вектор нормали к прямой l будет иметь направление, параллельное вектору нормали плоскости A.

Уравнение плоскости A: 3x - z = 7

Вектор нормали к плоскости A можно получить из коэффициентов перед переменными x, y и z. В данном случае, вектор нормали будет (3, 0, -1).

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой l, который параллелен вектору нормали плоскости A: (3, 0, -1).

Уравнение прямой l с известной точкой M(-3, 2, 4) и направляющим вектором (3, 0, -1) может быть записано в параметрической форме:

x = -3 + 3t y = 2 + 0t z = 4 - t

Теперь нам нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой l принадлежит плоскости A.

Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости:

3x - z = 7 3(-3 + 3t) - (4 - t) = 7 -9 + 9t - 4 + t = 7 10t = 20 t = 2

Теперь, найдя значение t, мы можем найти координаты точки пересечения, подставив t = 2 в уравнение прямой:

x = -3 + 3(2) = 3 y = 2 + 0(2) = 2 z = 4 - 2 = 2

Таким образом, точка пересечения прямой l и плоскости A имеет координаты (3, 2, 2).