Question

Точка М(х,у) движется на Оху так, что сумма квадратов расстояний от нее до начала координат и до точки А(-а,0) остается постоянной, равной величине а^2 (константа). Определить траекторию движения точки. (определить тип кривой через различитель,привести к канонической форме)

Answer 1

Из условия, что сумма квадратов расстояний от точки кривой до начала координат и до точки А(-а,0) остается постоянной, равной величине а^2, делаем вывод, что точка движется по окружности.
Отрезки, соединяющие точку кривой с точкой А и началом координат, это катеты прямоугольного треугольника, где а - его гипотенуза.
Запишем заданное условие точки М(х; у) на координатной плоскости.
((х - (-а))² + у²) + (х² + у²) = а².
х² + 2ах + а² + у² + х² + у² = а².
2х² + 2у² -2ах = 0.
х² + у² + ах = 0.
Выделим полный квадрат:
(х²  + ах + (а²/4)) + у² - (а²/4) = 0.
Получаем каноническое уравнение окружности:
(х + (а/2))² + у² = (а/2)².
Это окружность с центром в точке ((-а/2); 0) и радиусом R = (a/2).

Answer 2

Для определения траектории движения точки М(х, у) в системе координат Оху, где сумма квадратов расстояний от нее до начала координат и до точки А(-а, 0) остается постоянной, нужно использовать свойство эллипсов.

Пусть М(х, у) - текущее положение точки, а A(-а, 0) - фиксированная точка.

Сумма квадратов расстояний от точки М до начала координат и до точки А должна быть равной константе a^2:

МO^2 + MA^2 = a^2

Расстояние от точки М до начала координат (МO) равно √(х^2 + у^2), а расстояние от точки М до точки А (МA) равно √((х + а)^2 + у^2).

Подставим эти значения в уравнение:

(х^2 + у^2) + ((х + а)^2 + у^2) = a^2

Раскроем скобки:

х^2 + у^2 + х^2 + 2ax + a^2 + у^2 = a^2

Упростим уравнение:

2х^2 + 2ax + 2у^2 = 0

Разделим уравнение на 2:

х^2 + ax + у^2 = 0

Теперь приведем уравнение к канонической форме эллипса:

Для этого добавим и вычтем половину квадрата коэффициента при х:

х^2 + ax + (a/2)^2 - (a/2)^2 + у^2 = 0

Теперь перегруппируем и сгруппируем слагаемые:

(х + a/2)^2 + у^2 - (a/2)^2 = 0

Получаем уравнение эллипса в канонической форме:

(х + a/2)^2 + у^2 = (a/2)^2

Таким образом, траектория движения точки М(х, у) - это эллипс с фокусами в начале координат (0,0) и точке А(-а, 0).