Question

сколько существует троек натуральных чисел (a, b, c) образующих арифметическую прогрессию для которых числа ab+1, bc+1, ca+1 являются точными квадратами

Answer 1

Таких троек бесконечно много

Начнем:
 (  1;    8; 15 )
 ( 15;   8;   1 )
 ( 4;    30; 56 )
 (56;   30;   4 )  и так далее ... (Здесь мы не брали трехзначные числа...)


А вот и программа на PascalABC:

  var x, y, z : real;
begin
   for var a:=1 to 99 do
      for var b:=1 to 99 do
         for var c:=1 to 99 do
             begin 
                if b=(a+c)/2 then
                           begin
                              x:=sqrt(a*b+1);
                              y:=sqrt(b*c+1); 
                              z:=sqrt(c*a+1);   
                              if (int(x) = (x)) and (int(y) = (y)) and (int(z) = (z)) then                                                      WriteLn(a:4,b:4,c:4); 
                          end;
                end;
 end.

Answer 2

Для нахождения количества таких троек натуральных чисел (a, b, c), которые образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют условию, что числа ab+1, bc+1 и ca+1 являются точными квадратами, нам нужно проанализировать данное условие.

Допустим, ab+1 = x^2, bc+1 = y^2 и ca+1 = z^2, где x, y и z - натуральные числа.

Из выражения ab+1 = x^2 следует, что ab = x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1). Таким образом, ab должно быть произведением двух последовательных натуральных чисел.

Также, из выражений bc+1 = y^2 и ca+1 = z^2 можно вывести аналогичные равенства: bc = (y + 1)(y - 1) и ca = (z + 1)(z - 1).

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации таких произведений.

Поскольку a, b и c образуют арифметическую прогрессию, можно записать: b = a + d, c = a + 2d, где d - разность прогрессии.

Таким образом, наше условие становится: (a + d)(a - d) = (x + 1)(x - 1), (a + 2d)(a - d) = (y + 1)(y - 1), (a + 2d)(a + d) = (z + 1)(z - 1).

Из этой системы уравнений мы должны найти все возможные значения a, b и c, которые являются натуральными числами.

Однако количество таких троек может быть бесконечным, так как существует бесконечное количество арифметических прогрессий, удовлетворяющих данным условиям. Поэтому мы не можем точно сказать, сколько существует троек натуральных чисел (a, b, c), которые образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют условию чисел ab+1, bc+1 и ca+1 являются точными квадратами.