Question

Сколько делителей числа 20! × 21! являются точными квадратами или точными кубами? (Для любого натурального числа величина ! (факториал натурального числа ) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно: ! = 1 × 2 × 3 × · · · × ( − 1) × .)

Answer 1

Запишем число 20! · 21! как умножение чисел:

20! · 21! = 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 19 · 20 · 1 · 2 · 3 · ... · 19 · 20 · 21

Перепишем данное число максимально кратко:

1 · 2 · 3 · 4 · ... · 19 · 20 · 1 · 2 · 3 · ... · 19 · 20 · 21 = 1² · 2² · 3² · ... · 20² · 21

1² · 2² · 3² · ... · 20² · 21 = 2² · 3² · 2⁴ · 5² · (2² · 3²) · 7² · ... · 19² · (5² · 2⁴) · 3 · 7

Сгруппировав степени простых чисел, получаем:

20! · 21! = 2³⁶ · 3¹⁷ · 5⁸ · 7⁵ · 11² · 13² · 17² · 19²

Стоит понимать, что любое нужное нам число (то есть точные квадраты или кубы) мы можем записать с помощью всех записанных выше простых чисел в каком то своей степени. Причем, у каждого может быть независимо своя степень.

Точные квадраты:

Точными квадратами будут те числа, степени в простых делителях которых будут парными.

То есть, для множителя 2 возможно 19 способов: 0, 2, 4, 6, 8, ... , 32, 34, 36

Для множителя 3 возможно (17-1)/2 + 1 = 9 способов

и так далее.

Итого:

2 - 19; 3 - 9; 5 - 5; 7 - 3, 11 - 2, 13 - 2, ..., 19 - 2.

Исходя из правила произведения в комбинаторике, общее количество точных квадратов равно произведению всех способов у каждого простого множителя:

P₁ = 19 · 9 · 5 · 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 41040

Точные кубы:

Аналогично квадратам, но, единственное, количество способов меньше для каждого делителя:

13 для цифры 2

6 для цифры 3

3 для цифры 5

2 для цифры 7

и по 1 для дальнейших чисел, поскольку дальше идут лишь квадраты. Итого:

P₂ = 13 · 6 · 3 · 2 = 468

Но есть один нюанс:

Существуют точные шестые степени. Множество точных квадратов и кубов имеют множество точных шестых степеней. Поскольку эти шестые степени включаются дважды в нашем подсчете, нужно убрать один его подсчет.

Точные шестые степени:

7 способов для числа 2

3 способа для числа 3

2 способа для числа 5

и дальше по одному способу

Итого - P₃ = 42

Общее количество точных квадратов и кубов: P = P₁ + P₂ - P₃ = 41040 + 468 - 42 = 41466

Ответ: 41466

Answer 2

Чтобы найти количество делителей числа $20! \times 21!$, которые являются точными квадратами или точными кубами, мы должны разложить это число на простые множители.

Сначала рассмотрим $20!$. Факторизуем его:

$20! = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$

Теперь рассмотрим $21!$. Он содержит все простые множители, которые входят в $20!$, а также дополнительный множитель 21:

$21! = 2^{19} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$

Теперь, чтобы найти общее количество делителей, нужно взять показатели степеней каждого простого множителя и увеличить их на 1, а затем перемножить эти числа. Например, для $2$ это $19 + 1 = 20$, для $3$ это $9 + 1 = 10$, и так далее.

Теперь рассмотрим квадраты и кубы. Для того чтобы делитель был точным квадратом, показатель степени в разложении должен быть четным. Для кубов - кратным трём. Таким образом, количество делителей, являющихся точными квадратами или точными кубами, будет равно:

Квадраты:

• $2^{2k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $10$ (половина четных степеней для $2$).
• $3^{2k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $5$ (половина четных степеней для $3$).
• $5^{2k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $2$ (половина четных степеней для $5$).
• $7^{2k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $1$ (половина четных степеней для $7$).
• $11^2$, $13^2$, $17^2$, $19^2$ - это все уже квадраты.

Кубы:

• $2^{3k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $6$ (треть четных степеней для $2$).
• $3^{3k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $3$ (треть четных степеней для $3$).
• $5^{3k}$, где $k$ принимает значения от $0$ до $1$ (треть четных степеней для $5$).
• $7^3$ - это уже куб.

Теперь сложим количество квадратов и кубов:

$10 + 6 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 33$

Итак, число делителей, которые являются точными квадратами или точными кубами, равно $33$.