Question

Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... ( см. задачу 719↓) взаимно простые числа? б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!? в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!? Задача #419 Вася уведел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись 5!. -Что это за восклицательный знак? - спросил он. - Это не восклицательный знак. Запись 5! читается как «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа n (n>1) запись n! читается «эн факториал» и означает произведения натуральных чисел от 1 до n: n!=1*2*3...*n. Считается, что 1!=1. Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!. ПОМОГИТЕ ПЛИИЗ ПРОЩУ!! ССОРИ ЗА ОШИБКИ!!!

Answer 1

РЕШЕНИЕ
а) - взаимно простых чисел нет, так как факториал меньшего числа является делителем для факториала большего числа - ОТВЕТ
б) - общий делитель
$d= \frac{100!}{50!}= \frac{(100*99...52*51)*50!}{50!}$
ОТВЕТ: 100*99*98...52*51
в) - общее кратное
$\frac{x}{100!}+ \frac{y}{50!}= \frac{x+y*100*99...52*51}{100!}$
ОТВЕТ: 100!
г) - факториал чисел. вычислим по формуле: (n+1)! = (n+1)*n! - ОТВЕТ
3! = 3*2*1 =6 и
4! = 4*6= 24 и
5! = 5*24 = 120
6! = 6*120 = 720
7! = 7*720 = 5040
8! = 8*5040 = 40320
9! = 9*40320 = 262880

Answer 2

Are the numbers 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... (as mentioned in problem 719) mutually prime?

To determine if the numbers 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... are mutually prime, we need to check if their greatest common divisor (GCD) is equal to 1.

Let's calculate the factorials of these numbers and find their GCD:

- 2! = 2 * 1 = 2 - 3! = 3 * 2 * 1 = 6 - 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 - 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 - 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 - 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

To find the GCD of these numbers, we can use the Euclidean algorithm. However, since the numbers are small, we can manually calculate their GCD.

The GCD of 2 and 6 is 2. The GCD of 2 and 24 is 2. The GCD of 2 and 120 is 2. The GCD of 2 and 720 is 2. The GCD of 2 and 5040 is 2.

Therefore, the GCD of all the numbers 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... is 2, which means they are not mutually prime.

[[1]]