Question

У Васи дома живут говорящие муравьи двух видов: черные и коричневые. Муравьи одного цвета всегда говорят правду, а муравьи другого цвета говорят, что угодоно. Вася посадил на каждую клетку доски 4×4 по муравью, и каждый муравей заявил, что его соседи по стороне коричневые. Докажите, что на доске не могло быть ровно 7 коричневых муравьев

Answer 1

Не может потому то 4×4=16, а муравьев только 7 коричневых, а у каждого должны быть коричневые соседи а не чорные!

Answer 2

Давайте докажем, что на доске не может быть ровно 7 коричневых муравьев.

Допустим, что на доске есть 7 коричневых муравьев. Посмотрим на произвольный муравей на этой доске. У каждого муравья есть 4 соседа: сверху, снизу, слева и справа.

1. Если рассматриваемый муравей находится на краю доски, то у него есть менее четырех соседей. Поскольку у нас есть больше чем один коричневый муравей, один из его соседей обязан быть коричневым. Это противоречие с условием, что все соседи каждого коричневого муравья также коричневые.

2. Если рассматриваемый муравей не находится на краю доски, то у него есть ровно 4 соседа. Все они должны быть коричневыми, но это также невозможно. Для этого докажем, что среди коричневых муравьев обязан быть хотя бы один черный.

Предположим, что среди 7 коричневых муравьев нет черного. Тогда все 7 муравьев говорят правду, что они окружены коричневыми муравьями. Возьмем одного из этих муравьев, и он имеет ровно 4 соседа (по определению доски 4×4). Так как наш муравей правдив, то все его соседи должны быть коричневыми, но это невозможно, так как мы предполагали, что среди коричневых муравьев нет черного.

Следовательно, предположение о том, что на доске есть ровно 7 коричневых муравьев, приводит к противоречию. Таким образом, на доске не может быть ровно 7 коричневых муравьев.