Question

Исследовать функцию на экстремум z=4x+5y-x^2-y^2+6

Answer 1

$z=4x+5y-x^2-y^2+6\\\\ \left \{ {{z'_x=4-2x} \atop {z'_y=5-2y}} \right. \\ \left \{ {{4-2x=0} \atop {5-2y=0}} \right. \\ \left \{ {{x=2} \atop {y=2.5}} \right. \\\\ H= \left[\begin{array}{cc}Z''_{xx}&Z''_{xy}\\Z''_{yx}&Z''_{yy}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&-2\end{array}\right] \\\\ H_1=-2 ; H_2=-2*(-2)-0*0=4$

Учитывая, что гессиан отрицательно определен, то есть знаки всех угловых миноров чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен, то точка (2; 2.5) является точкой максимума, причем глобального максимума, так как гессиан состоит лишь из констант.

(x;y)=(2;2.5) - точка глобального максимума

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нужно найти её частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений.

Заданная функция: z = 4x + 5y - x^2 - y^2 + 6

1. Найдем частную производную по x (при фиксированной y): ∂z/∂x = 4 - 2x

2. Найдем частную производную по y (при фиксированной x): ∂z/∂y = 5 - 2y

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений:

1. ∂z/∂x = 4 - 2x = 0 2x = 4 x = 2

2. ∂z/∂y = 5 - 2y = 0 2y = 5 y = 5/2 = 2.5

Теперь найдем значение z в найденных точках (x, y):

z(2, 2.5) = 42 + 52.5 - 2^2 - (2.5)^2 + 6 z(2, 2.5) = 8 + 12.5 - 4 - 6.25 + 6 z(2, 2.5) = 20.25

Таким образом, функция имеет стационарную точку (2, 2.5) и значение в этой точке равно 20.25.

Для определения типа этой точки (минимум, максимум или седловая точка), можно использовать вторые производные. Найдем их:

1. Вторая частная производная по x: ∂^2z/∂x^2 = -2

2. Вторая частная производная по y: ∂^2z/∂y^2 = -2

3. Смешанная вторая производная: ∂^2z/∂x∂y = ∂^2z/∂y∂x = 0

Так как обе вторые частные производные отрицательны, и определитель гессиана (D = ∂^2z/∂x^2 * ∂^2z/∂y^2 - (∂^2z/∂x∂y)^2) равен нулю, то в данной точке (2, 2.5) гессиан не даёт информации о характере точки.

Для окончательного определения типа точки, можно проанализировать окрестности этой точки или построить график функции в её окрестности. Если вы хотите узнать более точную информацию о типе точки, дополните вопрос, и я помогу вам более подробно.