Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, сделать чертёж. y=x^2+1, y=-x^2+5

Answer 1

Площадь плоской фигуры есть интеграл:
Найдем точки пересечения:
$x^2+1=-x^2+5\\2x^2=4\\x^2=2\\x=^+_-\sqrt{2}$
$\int\limits^{\sqrt2}_{-\sqrt2}(-2x^2+4)dx=(-\frac{2x^3}{3}+4x)|\limits^{\sqrt2}_{-\sqrt2}=\frac{16\sqrt2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

Дано:

1. Кривая 1: y = x^2 + 1
2. Кривая 2: y = -x^2 + 5

Для начала, найдем точки пересечения этих двух кривых. Это произойдет в тех местах, где значения y для обеих кривых равны:

x^2 + 1 = -x^2 + 5

Теперь решим уравнение:

2x^2 = 4

x^2 = 2

x = ±√2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = √2 и x = -√2.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нужно взять интеграл разности между ними. Поскольку фигура симметрична относительно оси y, мы можем вычислить площадь только для положительного значения x и затем удвоить ее.

Площадь фигуры S = 2 * ∫[0, √2] (y2 - y1) dx

где y1 = x^2 + 1 и y2 = -x^2 + 5.

Теперь возьмем интеграл:

S = 2 * ∫[0, √2] ((-x^2 + 5) - (x^2 + 1)) dx

S = 2 * ∫[0, √2] (-2x^2 + 4) dx

Теперь проинтегрируем:

S = 2 * [(-2/3) * x^3 + 4x] |[0, √2]

S = 2 * [(-2/3) * (√2)^3 + 4√2 - ((-2/3) * 0^3 + 4 * 0)]

S = 2 * [(-2/3) * 2√2 + 4√2]

S = 2 * [-4√2/3 + 4√2]

S = 2 * (4√2 - 4√2/3)

S = 2 * (12√2/3)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 5, составляет 8√2/3 (приблизительно 3.079 квадратных единиц).

Чтобы создать чертеж, нужно построить графики обеих кривых на одном графике и закрасить область между ними, которая представляет собой искомую фигуру. Здесь я не могу визуализировать чертеж напрямую, но вы можете использовать любой графический инструмент или математический пакет, такой как MATLAB или Python с библиотекой Matplotlib, чтобы построить этот график.