Question

Считая функцию нормированной на единицу, то есть интеграл от квадрата этой функции по всему объему равен единице, что можно сказать об интеграле от производной квадрата этой функции по всему объему? Это ноль? Тогда как это показать? ( , )

Answer 1

Интеграл по сути является первообразной, а как известно первообразная является обратной производной, то есть при вычислении интеграла производной некоторой функции ответом будет являться само значение функции.

Answer 2

Да, интеграл от производной квадрата нормированной функции по всему объему равен нулю. Давайте докажем это.

Пусть у нас есть функция $f(x)$, которая нормирована на единицу, то есть: $\int_{V} f^2(x) dx = 1,$ где $V$ - весь объем.

Теперь давайте возьмем производную квадрата этой функции: $F(x) = \left(f^2(x)\right)'.$

Теперь мы хотим посчитать интеграл от этой производной по всему объему $V$: $\int_{V} F(x) dx.$

Используем теперь теорему Фубини для обратной ситуации. Для функции $f^2(x)$ мы знаем, что она нормирована, поэтому: $\int_{V} f^2(x) dx = \int_{\mathbb{R}^3} f^2(x) dx = 1.$

Теперь, вычислим производную $F(x)$ квадрата функции $f(x)$: $F(x) = \left(f^2(x)\right)' = 2f(x)f'(x).$

Теперь, проинтегрируем $F(x)$ по всему объему $V$: $\int_{V} F(x) dx = \int_{V} 2f(x)f'(x) dx.$

Используем теорему Фубини для последнего интеграла: $\int_{V} F(x) dx = 2 \int_{V} f(x)f'(x) dx.$

Теперь применим метод интегрирования по частям, где $u = f(x)$ и $dv = f'(x) dx$. Тогда $du = f'(x) dx$ и $v = \int f'(x) dx = \int df = f(x) + C$, где $C$ - постоянная интегрирования.

Подставим значения в формулу интегрирования по частям: $\int_{V} F(x) dx = 2 \int_{V} f(x)f'(x) dx = 2\left[\int_{V} u dv\right] = 2\left[uv - \int_{V} v du\right] = 2\left[f(x)f(x) - \int_{V} (f(x) + C) f'(x) dx\right].$

Упростим выражение: $\int_{V} F(x) dx = 2\left[f^2(x) - \int_{V} (f(x) + C) f'(x) dx\right].$

Мы знаем, что $\int_{V} f^2(x) dx = 1$, поэтому: $\int_{V} F(x) dx = 2\left[1 - \int_{V} (f(x) + C) f'(x) dx\right].$

Теперь вычислим второй интеграл на правой стороне. Вспомним, что $\int_{V} f'(x) dx = f(x)$, так как интегрирование производной дает исходную функцию. Тогда: $\int_{V} (f(x) + C) f'(x) dx = \int_{V} f'(x) f(x) dx = \int_{V} f(x) f'(x) dx.$