Question

Sin^2(2x)+2cos^2(2x)=7/4 Нужны обьяснения, чем подробнее тем лучше. Спасибо

Answer 1

По формуле понижения степеней, имеем

$\dfrac{1-\cos4x}{2} + 2\cdot \dfrac{1+\cos4x}{2} = \dfrac{7}{4} ~~ |\cdot 4\\ \\ 2(1-\cos4x)+4(1+\cos 4x)=7\\ \\ 2-2\cos4x+4+4\cos4x=7\\ \\ 2\cos 4x=1\\ \\ \cos 4x=0.5\\ \\ 4x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z}~~|:4\\ \\ x=\pm \frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение синусов и косинусов подробно. У нас дано уравнение:

$\sin^2(2x) + 2\cos^2(2x) = \frac{7}{4}$

Первым шагом мы можем заменить тригонометрические тождества для синуса и косинуса двойного угла:

$\sin^2(2x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(4x))$ $\cos^2(2x) = \frac{1}{2}(1 + \cos(4x))$

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\frac{1}{2}(1 - \cos(4x)) + 2\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(4x))\right) = \frac{7}{4}$

Упростим выражение:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x) + \frac{1}{2} + \cos(4x) = \frac{7}{4}$

Теперь сложим константы и коэффициенты при косинусе:

$1 + \frac{1}{2}\cos(4x) = \frac{7}{4}$

Теперь избавимся от коэффициента при косинусе:

$\frac{1}{2}\cos(4x) = \frac{7}{4} - 1$

$\frac{1}{2}\cos(4x) = \frac{3}{4}$

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$\cos(4x) = \frac{3}{2}$

Теперь нужно найти все значения угла $4x$, при которых $\cos(4x) = \frac{3}{2}$. Однако, косинус не может принимать значения больше 1 или меньше -1, поскольку это пределы его значения. Таким образом, уравнение $\cos(4x) = \frac{3}{2}$ не имеет решений, и следовательно, исходное уравнение $\sin^2(2x) + 2\cos^2(2x) = \frac{7}{4}$ не имеет решений.

В итоге, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.