Question

Найти производную y=ln(x+sqr x^2+1)

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y = ln(x + sqrt(x^2 + 1)), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Давайте обозначим внутреннюю функцию как u(x) = x + sqrt(x^2 + 1), а внешнюю функцию как v(u) = ln(u). Тогда y(x) = v(u(x)).

1. Найдем производную внутренней функции u(x):

u(x) = x + sqrt(x^2 + 1)

Дифференцируем u(x) по x: u'(x) = 1 + (1/2)*(x^2 + 1)^(-1/2) * (2x)

Упростим выражение: u'(x) = 1 + x / sqrt(x^2 + 1)

2. Теперь найдем производную внешней функции v(u):

v(u) = ln(u)

Дифференцируем v(u) по u: v'(u) = 1 / u

3. Применяем правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

dy/dx = v'(u) * u'(x)

dy/dx = (1 / u) * (1 + x / sqrt(x^2 + 1))

dy/dx = (1 + x / sqrt(x^2 + 1)) / (x + sqrt(x^2 + 1))

Таким образом, производная функции y = ln(x + sqrt(x^2 + 1)) равна (1 + x / sqrt(x^2 + 1)) / (x + sqrt(x^2 + 1)).