Question

Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 6 и на 8, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 12? Оформление простое пж

Answer 1

N = 4k + a1 = 6m + a2 = 8n + a3
a1 + a2 + a3 = 15
Учитывая, что а1, а2, а3 - это остатки, получаем такие ограничения:
a1 < 4; a2 < 6; a3 < 8.
Максимальные остатки a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7 как раз дают сумму 15. 
N = 4k + 3 = 6m + 5 = 8n + 7.
Надо заметить, что если при делении на 8 число дает остаток 7, то при делении на 4 оно всегда будет давать остаток 3.
Если к этому числу N прибавить 1, то оно делится на 4, 6 и 8.
Это числа N+1 = 24, 48, 72, 96, ... Тогда N = 23, 47, 71, 95, ...
При делении на 12 они все дают остаток 11

Answer 2

Обозначим задуманное Ваней число как "х". Задачу можно решить методом китайской теоремы об остатках.

По условию, у нас есть следующие сравнения:

1. х ≡ a (mod 4)
2. х ≡ b (mod 6)
3. х ≡ c (mod 8)

где "a", "b" и "c" - остатки от деления на 4, 6 и 8 соответственно.

Согласно теореме о сравнениях, если остатки имеют общий делитель, равный 1 (что выполняется в данном случае, так как 4, 6 и 8 не имеют общих делителей кроме 1), то существует единственное решение для "x" по модулю 468 = 24.

Теперь, чтобы найти "x" по модулю 12, нам нужно найти решение для "x" по модулю 24 и затем взять его по модулю 12.

Таким образом, для нахождения "x" по модулю 24:

1. Найдем обратные элементы для 4, 6 и 8 по модулю 24 (они существуют, так как 4, 6 и 8 взаимно просты с 24): 4^(-1) ≡ 1 (mod 24) 6^(-1) ≡ 1 (mod 24) 8^(-1) ≡ 23 (mod 24)

2. Выразим "x" через остатки и обратные элементы: x ≡ a * 4^(-1) + b * 6^(-1) + c * 8^(-1) (mod 24) x ≡ a + b + 23c (mod 24)

Теперь найдем остаток "x" по модулю 12: x ≡ (a + b + 23c) mod 12

Учитывая, что сумма остатков равна 15, имеем: a + b + c = 15.

Теперь, чтобы найти остаток "x" по модулю 12, нам нужно решить сравнение a + b + 23c ≡ 15 (mod 12).

Теперь нужно рассмотреть различные значения "c" и определить остаток "x" по модулю 12:

1. Пусть c = 1, тогда a + b + 23 ≡ 15 (mod 12) => a + b ≡ 8 (mod 12). Возможные пары (a, b): (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0), (9, -1), ...
2. Пусть c = 2, тогда a + b + 46 ≡ 15 (mod 12) => a + b ≡ 1 (mod 12). Возможные пары (a, b): (1, 0), (2, 11), (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4), ...
3. Пусть c = 3, тогда a + b + 69 ≡ 15 (mod 12) => a + b ≡ 0 (mod 12). Возможные пары (a, b): (0, 0), (1, -1), (2, -2), (3, -3), (4, -4), (5, -5), (6, -6), ...

Заметим, что когда a + b делится на 12, остаток "x" также делится на 12, что видно из наших выкладок. Таким образом, чтобы сумма остатков равнялась 15, нам нужно выбрать c = 3, a = 0 и b = 0.

Таким образом, задуманное Ваней число даёт остаток 0 при делении на 12.