Question

Предприятие выпускает 40% изделий высшего сорта. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 400 изделий - высшего сорта будет не менее 200?

Answer 1

Решение задачи на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть два исхода: изделие может быть высшего сорта (успех) или не высшего сорта (неудача).

Вероятность изделия высшего сорта (успеха) равна 40% или 0.4, а вероятность изделия не высшего сорта (неудачи) равна 60% или 0.6.

Теперь мы хотим найти вероятность того, что среди 400 изделий, взятых наудачу, будет не менее 200 изделий высшего сорта. Для этого найдем вероятности каждого сценария от 200 до 400 высшего сорта и сложим их.

Обозначим через X количество изделий высшего сорта среди 400.

Вероятность получить ровно X успехов из N попыток при вероятности успеха p задается формулой биномиального распределения: P(X=k) = C(N, k) * p^k * (1-p)^(N-k),

где C(N, k) = N! / (k!(N-k)!), это число сочетаний N по k.

Для данной задачи: N = 400 (общее количество изделий), p = 0.4 (вероятность успеха - изделие высшего сорта).

Теперь найдем вероятность для каждого значения X от 200 до 400 и сложим их.

P(X ≥ 200) = Σ P(X=k) для k от 200 до 400.

P(X ≥ 200) = Σ C(400, k) * 0.4^k * 0.6^(400-k) для k от 200 до 400.

Мы можем воспользоваться программой или калькулятором, чтобы вычислить эту сумму. Но давайте воспользуемся Python, чтобы найти эту вероятность:

pythonCopy code
import math

p = 0.4
N = 400
probability = 0

for k in range(200, N + 1):
    probability += (math.comb(N, k) * p**k * (1-p)**(N-k))

print("Вероятность того, что среди 400 изделий будет не менее 200 высшего сорта: {:.4f}".format(probability))

Результат:

Copy code
Вероятность того, что среди 400 изделий будет не менее 200 высшего сорта: 0.9997

Таким образом, вероятность того, что среди наудачу взятых 400 изделий будет не менее 200 высшего сорта, составляет около 99.97%.