Question

Интеграл от π/12 до π/9 (dx/sin²3x)

Answer 1

$\int\limits^ \frac{ \pi }{9} _\frac{ \pi }{12}{ \frac{1}{sin^2(3x)} } \, dx\\F(x)= -\frac{1}{3}*ctg(3x)\\\int\limits^ \frac{ \pi }{9} _\frac{ \pi }{12}{ \frac{1}{sin^2(3x)} } \, dx= -\frac{1}{3}*ctg(3* \frac{ \pi }{9} ) - (-\frac{1}{3}*ctg(3* \frac{ \pi }{12} ))=\\= -\frac{1}{3}*\frac{ \sqrt{3} }{3}-(- \frac{1}{3}* 1)= -\frac{ \sqrt{3} }{9}+\frac{1}{3}$

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной. Для этого проведем следующую замену:

Положим u = 3x Тогда, du = 3dx

Когда x = π/12, u = 3 * π/12 = π/4 Когда x = π/9, u = 3 * π/9 = π/3

Теперь интеграл примет следующий вид:

∫(dx/sin²3x) = (1/3) ∫(du/sin²u)

Далее, воспользуемся известным интегралом ∫(dx/sin²x) = -cot(x) + C, где C - константа интегрирования. Тогда:

(1/3) ∫(du/sin²u) = (1/3) * (-cot(u)) + C = -(1/3) * cot(3x) + C

Теперь найдем определенное значение интеграла на интервале [π/12, π/9]:

∫π/12 to π/9 = [-(1/3) * cot(3x)] from π/12 to π/9 = -(1/3) * [cot(π/3) - cot(π/4)] = -(1/3) * [√3 - 1]

Таким образом, окончательный ответ:

∫π/12 to π/9 = -(1/3) * (√3 - 1)