Question

Помогите пожалуйста Методом неопределенных коэффициентов найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: y''- 4y' +4y=sin4x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данное линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

Данное уравнение имеет вид: y'' - 4y' + 4y = sin(4x).

Для нахождения общего решения данного уравнения, мы должны найти общее решение однородного уравнения (y'' - 4y' + 4y = 0) и частное решение неоднородного уравнения (y'' - 4y' + 4y = sin(4x)).

1. Найдем общее решение однородного уравнения: Для этого предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим предположенное решение в уравнение: y'' - 4y' + 4y = 0 Получим характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 4 = 0

Решим характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2 = 0 Отсюда получаем двукратный корень r = 2.

Общее решение однородного уравнения: y_h = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p = A * sin(4x) + B * cos(4x), где A и B - неизвестные коэффициенты.

Подставим предположенное решение в уравнение: y'' - 4y' + 4y = sin(4x) Получим уравнение для определения A и B: -16A * sin(4x) - 16B * cos(4x) + 4A * sin(4x) + 4B * cos(4x) = sin(4x)

Сгруппируем слагаемые синусов и косинусов: (4A - 16B) * sin(4x) + (-16A + 4B) * cos(4x) = sin(4x)

Сравним коэффициенты при синусе и косинусе с правой стороной уравнения: 4A - 16B = 1 -16A + 4B = 0

Решим эту систему уравнений: A = -1/4 B = -1

3. Теперь, когда мы нашли значения A и B, можем записать частное решение неоднородного уравнения: y_p = (-1/4) * sin(4x) - cos(4x)

4. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p y = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x) - (1/4) * sin(4x) - cos(4x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые зависят от начальных условий, если таковые предоставлены.