Question

Помогите пожалуйста Методом неопределенных коэффициентов найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: y''- 4y' +4y=sin4x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов, мы предполагаем, что общее решение имеет вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

где y_h(x) - это общее решение соответствующего однородного уравнения (все правые части равны нулю), а y_p(x) - это частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения: y'' - 4y' + 4y = 0

Предполагаем, что общее решение однородного уравнения имеет вид y_h(x) = e^(rx). Подставим в уравнение:

(r^2 - 4r + 4)e^(rx) = 0

Характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 4 = 0

Найдем корни характеристического уравнения: r1 = r2 = 2

Таким образом, общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A * sin(4x) + B * cos(4x). Подставим в уравнение:

y_p''(x) = -16A * sin(4x) - 16B * cos(4x) y_p'(x) = 4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)

Подставим эти значения в исходное уравнение:

(-16A * sin(4x) - 16B * cos(4x)) - 4(4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)) + 4(A * sin(4x) + B * cos(4x)) = sin(4x)

Уравнение выполняется, если:

-16A + 16B + 4B = 1 (коэффициент при sin(4x)) -16B - 4A + 4A = 0 (коэффициент при cos(4x))

Это система уравнений, которую можно решить:

-16A + 20B = 1 4A = 0

Решение системы: A = 0 B = 1/20

Таким образом, частное решение: y_p(x) = (1/20) * cos(4x)

3. Общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x) + (1/20) * cos(4x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Это общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.