Question

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом неопределенных коэффициентов y''+6y'+13y= -10e^-2x

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.

Оформление не соблюдалось.

Answer 2

Чтобы найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом неопределенных коэффициентов, предполагаем, что решение имеет вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x),

где y_h(x) - общее решение соответствующего однородного уравнения, а y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения (y'' + 6y' + 13y = 0):

Характеристическое уравнение:

r^2 + 6r + 13 = 0.

Решим это уравнение, используя квадратное уравнение:

r = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * 13)) / (2 * 1) r = (-6 ± √(36 - 52)) / 2 r = (-6 ± √(-16)) / 2 r = (-6 ± 4i) / 2 r = -3 ± 2i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = c1 * e^(-3x) * cos(2x) + c2 * e^(-3x) * sin(2x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения (y'' + 6y' + 13y = -10e^(-2x)).

Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = A * e^(-2x).

Теперь найдем производные:

y_p'(x) = -2A * e^(-2x), y_p''(x) = 4A * e^(-2x).

Подставим найденные производные и y_p(x) в исходное уравнение:

4A * e^(-2x) - 12A * e^(-2x) + 13A * e^(-2x) = -10e^(-2x).

Сократим на общий множитель e^(-2x):

4A - 12A + 13A = -10.

A = -10.

Таким образом, частное решение:

y_p(x) = -10e^(-2x).

3. Общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = (c1 * e^(-3x) * cos(2x) + c2 * e^(-3x) * sin(2x)) - 10e^(-2x).

Это и есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Здесь c1 и c2 - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий, если они имеются.